最短距離を求める！点Pが与えられた時のAP+BPの最小値の求め方

高校数学における距離の最小値問題は、幾何学的な視点から解くことができます。この問題では、点Pがxy平面上に存在し、与えられた2点A（0,0,2）とB（1,2,1）に対して、AP + BPの最小値を求めることが求められています。この記事では、この問題を解くためのステップをわかりやすく解説します。

問題の設定と理解

まず、与えられた点A（0,0,2）とB（1,2,1）は3次元空間内の座標ですが、問題はxy平面上での点Pに関するものです。つまり、点Pはz軸が0の状態、すなわちxy平面上に存在する点です。

AP + BPの最小値を求めるためには、幾何学的に「点Pがどこにあるとき、AとBへの距離の合計が最小になるか？」という問題に対して、最適な位置を見つけることが必要です。

AP + BPの最小値を求める際に有効な方法は、反射法を使うことです。この方法では、点Bをxy平面上で反射させ、点Aと反射点B’を結ぶ直線を求めます。

反射点B’は、Bをxy平面に対して反転させた点です。このとき、最小のAP + BPは、点Aと反射点B’を結んだ直線の長さに等しくなります。なぜなら、直線は常に最短距離を結ぶからです。

点B（1,2,1）をxy平面上で反射させるには、z座標を0にする必要があります。したがって、反射点B’は(1, 2, 0)となります。

次に、点A（0,0,2）と反射点B’（1,2,0）を結ぶ直線の長さを求めます。直線の長さは、2点間の距離公式を使用して計算できます。

2点A(x₁, y₁, z₁)とB(x₂, y₂, z₂)の間の距離は、次の式で計算できます。

距離 = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²]

ここで、点A（0,0,2）と反射点B’（1,2,0）の距離を求めると、次のようになります。

距離 = √[(1 – 0)² + (2 – 0)² + (0 – 2)²] = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3

したがって、AP + BPの最小値は3です。

点Pがxy平面上に存在する場合、AP + BPの最小値を求めるには、反射法を使うのが有効です。反射点B’を求め、点AとB’を結んだ直線の長さを計算することで、最短距離が得られます。この方法は、距離の最小化問題において非常に役立ちます。

この問題を解くことで、幾何学的なアプローチがどのように数学的な問題に適用されるかを学ぶことができ、数学の理解が深まります。