2変数関数の連続性を求める問題について、具体的な解法を解説します。特に、関数f(x, y) = sin(2xy) / xy（xy ≠ 0）と、f(x, y) = a（xy = 0）において、aの値を求める方法を理解しましょう。
問題の整理と連続性の概念
この問題では、2変数関数f(x, y)が任意の点（x, y）で連続であるとき、aの値を求めることが求められています。まず、連続性の定義を確認しましょう。
関数が連続であるとは、ある点における関数の値が、その点における極限値と一致することを意味します。つまり、関数f(x, y)が点(x, y)で連続であるためには、次の条件が満たされる必要があります。
- lim(x, y)→(x₀, y₀) f(x, y) = f(x₀, y₀)
この問題では、xy ≠ 0のときの関数と、xy = 0のときの関数が一致することを確認する必要があります。
関数の定義と式の確認
問題で与えられた関数は、次のように定義されています。
- f(x, y) = sin(2xy) / xy（xy ≠ 0）
- f(x, y) = a（xy = 0）
まず、xy ≠ 0のときの関数f(x, y)を確認します。この関数は、xとyが0でない場合にのみ定義されます。次に、xy = 0のとき、関数f(x, y)はaに定義されていることがわかります。これを連続にするために、xy = 0の場合における関数の極限値がaと一致する必要があります。
xy = 0 のときの極限の計算
xy = 0 のとき、f(x, y)の極限値を求めるためには、xy ≠ 0のときの関数f(x, y)の極限を計算する必要があります。
まず、xy ≠ 0の場合の式は次のようになります。
- f(x, y) = sin(2xy) / xy
これをxyが0に近づくとき、つまりx → 0, y → 0の場合の極限を考えます。極限を求めるためには、式を変形して、リミットを計算します。
- lim(x, y)→(0, 0) sin(2xy) / xy
このリミットを計算すると、結果としてf(x, y)の極限は2となります。
aの値を求める
f(x, y)が任意の点で連続であるためには、xy = 0 のときの関数値aが、この極限と一致する必要があります。すなわち、a = 2であることがわかります。
したがって、aの値は2である必要があります。
まとめ
この問題では、関数f(x, y)が任意の点で連続であるために、xy = 0の場合の関数値aを求める問題でした。計算により、aの値は2であることが確認できました。
関数の連続性を求める際には、まず関数の定義と極限を求め、連続条件を満たすかどうかを確認することが大切です。理解を深めるためには、同様の問題を何度も解くことが役立ちます。
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