この問題では、x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 – 2・x・1/x という式の成立理由を解説します。式の展開や代数的な操作を通して、なぜこの式が成り立つのかを順を追って理解していきましょう。
1. 両辺の式を展開する
最初に、右辺の式を展開してみましょう。右辺の式は (x + 1/x)^2 – 2・x・1/x です。
(x + 1/x)^2 を展開すると、以下のようになります。
- (x + 1/x)^2 = x^2 + 2・x・1/x + 1/x^2
次に、この式から 2・x・1/x を引くと。
- x^2 + 2・x・1/x + 1/x^2 – 2・x・1/x = x^2 + 1/x^2
ここでわかるように、右辺の式を展開すると、x^2 + 1/x^2 という式になります。このように、右辺が左辺と一致するため、式が成り立つことが確認できます。
2. 式の構造とその意味
式 (x + 1/x)^2 の展開を理解することは、代数の基本的な操作の一つです。ここで重要なのは、分数の項 x とその逆数 1/x を組み合わせた形の平方を扱う点です。
また、-2・x・1/x の項がキャンセルされる理由も、この式を簡略化するうえでの重要なステップです。
3. 代数的な操作とその理解
この問題を通じて学べるのは、代数の基本的な操作が如何にして式の形を簡素化し、必要な結果に導くかということです。特に、分数とその逆数を使った式の展開が役立ちます。
このような操作を繰り返し練習することで、より複雑な代数的な問題に対応できるようになります。
4. まとめ
この式 x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 – 2・x・1/x の理由は、代数的な展開と計算を通じて簡単に確認できます。右辺を展開し、余分な項を取り除くことで、左辺の式と一致することがわかります。このように、式を分解して展開することで、代数的な問題を解決する力が養われます。
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