ラプラス変換は、微分方程式や信号処理の分野でよく使用される手法です。特に、与えられた関数が時間領域で定義されている場合、それをラプラス領域で扱いやすく変換するために用いられます。この記事では、2つの関数f(t)のラプラス変換を求める方法を、ステップごとに解説します。
問題の概要
まず、問題文にある関数f(t)は次の通りです。
1) f(t) = { (b/a)t (0 < t < a), 0 (t > a) }
2) f(t) = sin(2t)cos(2t)
これらの関数に対して、それぞれラプラス変換F(s)を求めます。
ラプラス変換の基本
ラプラス変換は、時間領域の関数f(t)を、複素数のs領域の関数F(s)に変換する方法です。ラプラス変換の基本的な公式は次の通りです。
F(s) = ∫[0, ∞] f(t)e^(-st) dt
この公式を使って、与えられた関数のラプラス変換を求めることができます。
1つ目の関数：f(t) = (b/a)t (0 < t < a), 0 (t > a)
まず、f(t)が時間領域で0からaまで定義されているため、ラプラス変換をこの範囲に対して行います。f(t)を定義通りに代入すると。
F(s) = ∫[0, a] (b/a)t e^(-st) dt
ここで積分を解くと、結果として。
F(s) = (b/a) * [積分結果] = (b/a) * [1/s^2] (式の計算詳細)
このようにして、1つ目の関数のラプラス変換が求まります。
2つ目の関数：f(t) = sin(2t)cos(2t)
次に、f(t) = sin(2t)cos(2t)に対するラプラス変換を求めます。この関数をトリゴノメトリック恒等式を使って簡単化します。
sin(2t)cos(2t) = 1/2[sin(4t)]
したがって、f(t)は次のように書き換えられます。
f(t) = 1/2 sin(4t)
この式を使ってラプラス変換を計算します。
F(s) = ∫[0, ∞] (1/2) sin(4t) e^(-st) dt
ラプラス変換の公式に従って計算すると、最終的に。
F(s) = 1/2 * [結果] = 1/2 * [4 / (s^2 + 16)] (式の計算詳細)
まとめ
ラプラス変換は、時間領域の関数を複素数のs領域に変換する強力なツールです。ここでは、2つの関数f(t)のラプラス変換を求めました。それぞれの問題では、関数の定義をしっかりと確認し、ラプラス変換の公式を適用することが重要です。
それぞれの計算の過程を理解することで、他の問題に取り組む際にも応用できるスキルを身につけることができます。
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