正の整数Nに関する商と余りの問題の解法

正の整数Nを49で割った時、商と余りが等しくなるようなNを求める問題があります。ここではその解法について詳しく解説します。

商と余りの関係

整数Nを49で割ると、商qと余りrが求まります。一般的に、整数Nは次のように表されます。

N = 49q + r

ここで、商qは整数で、余りrは0から48までの整数です。また、商と余りが等しいという条件から、次の式が得られます。

q = r

これをNに代入すると、Nは次のように表せます。

N = 49r + r = 50r

したがって、Nは50の倍数であり、余りrは49未満の正の整数でなければなりません。

条件を満たすNの範囲

次に、Nが2025より大きい場合を考えます。N = 50rですので、N > 2025となるためには、rを次のように求めることができます。

50r > 2025

これを解くと。

r > 2025 / 50 = 40.5

したがって、rは40以上である必要があります。rは1から48までの整数ですので、rの取りうる値は40, 41, 42, …, 48の9つです。

求めるNの個数

したがって、rが40から48の間の整数を取るときのNは、それぞれ50倍されるため、Nの個数は9個です。

実際の計算結果

具体的に求めるNを計算すると、次のようなNが得られます。

N = 50 * 40 = 2000, N = 50 * 41 = 2050, ..., N = 50 * 48 = 2400

これらの値が求めるNとなり、それぞれ商と余りが等しくなります。

まとめ

正の整数Nを49で割ったとき、商と余りが等しくなるようなNは、N = 50rの形で表されます。2025より大きいNは、rが40以上48以下である9個の値に対応します。これにより、問題の答えが得られます。