線形代数において、部分空間W1とW2に関する重要な命題があります。「w ∈ W1ならば、w ∈ W1 + W2」という関係を証明する方法を理解することは、線形空間の理論を学ぶ上で非常に重要です。この記事では、この命題の証明を詳しく解説します。
部分空間W1とW2の定義
まず、W1とW2が部分空間であるとは、次の2つの条件を満たす必要があります。
- 零ベクトルがW1およびW2に含まれている。
- W1とW2の任意のベクトルの和とスカラー倍が、それぞれW1およびW2に含まれている。
これらの条件を満たすW1およびW2は、それぞれ線形空間の部分空間としての性質を持っています。
W1 + W2の定義
W1 + W2は、W1とW2の和空間として定義されます。つまり、W1 + W2はW1とW2のすべてのベクトルの和で構成される空間です。具体的には、W1 + W2に含まれる任意のベクトルは、W1のベクトルとW2のベクトルの和として表現できます。
W1 + W2 = {w1 + w2 | w1 ∈ W1, w2 ∈ W2}この定義により、W1 + W2の任意のベクトルは、W1とW2にそれぞれ含まれるベクトルの和として表現できることが分かります。
命題の証明
命題「w ∈ W1ならば、w ∈ W1 + W2」を証明するためには、wがW1に属するならば、wがW1 + W2に含まれることを示さなければなりません。
wがW1に含まれると仮定します。すると、w = w + 0のように、wはW1に含まれるベクトルwとW2に含まれる零ベクトル0の和として表現できます。このように、wはW1 + W2に含まれるため、命題が成立します。
まとめ
「w ∈ W1ならば、w ∈ W1 + W2」という命題は、wがW1に含まれるならば、wがW1 + W2に含まれることを示しています。この証明では、wをW1のベクトルとして、W2の零ベクトルとの和として表現することによって、命題を確認しました。線形代数における部分空間の理解を深めるためには、このような基本的な証明をしっかりと理解することが重要です。
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