3点を通る円の方程式の求め方：実例を使った解説

数学IIの授業で扱う、3点を通る円の方程式の求め方は、特に三次元空間や座標の計算に慣れていないと難しく感じるかもしれません。ですが、円の方程式を求めるためには、いくつかの基本的なステップを踏めば簡単に解くことができます。今回は、具体的な点を使って円の方程式を導き出す方法を解説します。

3点を通る円の方程式の基本

円の方程式は一般的に、次のように表されます。

(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2

ここで、(h, k)は円の中心の座標、rは円の半径を表します。しかし、与えられた3つの点を通る円の方程式を求める場合、中心座標(h, k)と半径rを求める必要があります。具体的には、3点を代入して得られる連立方程式を解くことによって求めます。

まず、例として点A(1,1)、B(2,1)、C(-1,0)を通る円の方程式を求める方法を説明します。

円の方程式の形は、次のように展開できます。

x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

これに、点A(1,1)、B(2,1)、C(-1,0)を代入して連立方程式を解くことで、D、E、Fの値を求めます。

まず、点A(1,1)を代入すると、次の式が得られます。

1^2 + 1^2 + D(1) + E(1) + F = 0

これにより、D + E + F = -2が得られます。

次に、点B(2,1)を代入すると、次の式が得られます。

2^2 + 1^2 + D(2) + E(1) + F = 0

これにより、2D + E + F = -5が得られます。

最後に、点C(-1,0)を代入すると、次の式が得られます。

(-1)^2 + 0^2 + D(-1) + E(0) + F = 0

これにより、-D + F = -1が得られます。

これらの式を使って連立方程式を解くと、D、E、Fの値が求められます。その後、得られた値を使って円の方程式を完成させます。

次に、点A(1,3)、B(5,-5)、C(4,2)を通る円の方程式を求めます。解法は先程と同様です。

同じように、円の方程式に代入して連立方程式を解くと、D、E、Fの値が求まります。

3点を通る円の方程式を求めるためには、まず円の一般形を使い、与えられた点を代入して連立方程式を解きます。これにより、円の方程式を求めることができます。実際に計算してみることで、円の方程式を求めるプロセスに慣れることができます。