3次関数f(x)=x³-6x²+9x-1の極値を求める方法と解説

3次関数の極値を求めるには、微分を用いて関数の増減や極値を求める必要があります。この記事では、関数f(x) = x³ – 6x² + 9x – 1の極値を求める方法を、詳細なステップを追って解説します。

1. 極値を求めるための基本的な方法

極値を求めるには、まず関数の導関数（1次微分）を求め、その導関数が0になる点を見つけます。これが、極値候補のxの値です。その後、2階導関数（2次微分）を使って、これらの点が極大か極小かを判定します。

具体的には、f(x)の1次微分が0となる点を求め、それが極大または極小であるかを2次微分を使って確認します。

まず、関数f(x) = x³ – 6x² + 9x – 1の1次導関数を求めます。1次導関数は、関数の傾きを示します。

f'(x) = 3x² – 12x + 9

これが関数の導関数です。この式が0になるxの値を求めることで、極値候補を見つけます。

次に、f'(x) = 3x² – 12x + 9 を0に設定して解きます。

3x² – 12x + 9 = 0

両辺を3で割ると、x² – 4x + 3 = 0となります。これは因数分解できる式です。

(x – 3)(x – 1) = 0

よって、x = 1 と x = 3 が極値候補の点です。

次に、x = 1 と x = 3 が極大か極小かを判定するために、2次導関数を求めます。

f”(x) = 6x – 12

これをx = 1 と x = 3 に代入して、極値の種類を調べます。

・f”(1) = 6(1) – 12 = -6（負の値なので、x = 1 は極大）

・f”(3) = 6(3) – 12 = 6（正の値なので、x = 3 は極小）

以上の計算から、関数f(x) = x³ – 6x² + 9x – 1の極値は以下のようになります。

したがって、この関数の極大はx = 1で3、極小はx = 3で-8です。

3次関数の極値を求めるには、まず1次導関数を求めて、導関数が0になる点を見つけます。その後、2次導関数を使って、極値が極大か極小かを判定します。この方法を使うことで、関数の特性をしっかりと理解し、極値を求めることができます。