数学Ⅱの問題で、(a+b)²(a²-ab+b²)²を展開する問題があります。この問題では、純粋に掛け算をしていく方法に加え、他の方法で答えにたどり着く方法を探ります。この記事では、展開手順とそれに至るための別のアプローチについて、詳しく解説します。
問題の式の確認と展開の基本
与えられた式は、(a+b)²(a²-ab+b²)²です。この式は二つの二項式の積となっており、それぞれの項を展開することから始めます。まずは、各二項式を展開し、その後掛け算を行って答えを求めます。
展開する順番として、最初に(a+b)²を展開し、その後に(a²-ab+b²)²を展開する方法が一般的ですが、ここでは異なる方法を紹介します。
掛け算を行わずに別解を考える
まず、(a+b)²と(a²-ab+b²)²をそれぞれ因数分解してみましょう。
(a+b)² は、a² + 2ab + b² という形に展開できます。
(a²-ab+b²)² は、(a² – ab + b²)(a² – ab + b²) として計算できます。
このように、最初にそれぞれの項を展開した後、それらを掛け合わせる方法を選んでも、最終的には求める答えにたどり着くことができます。
展開結果の確認と別のアプローチ
次に、(a+b)²と(a²-ab+b²)²を展開していきましょう。まずは、(a+b)²の展開です。
- (a+b)² = a² + 2ab + b²
次に、(a²-ab+b²)²を展開します。
- (a²-ab+b²)² = a⁴ – 2a³b + 2a²b² – 2ab³ + b⁴
この二つを掛け合わせて最終的に得られる結果が、a⁶ + 2a³b³ + b⁶ となります。
まとめ
今回の問題では、(a+b)²(a²-ab+b²)²という式を展開する際に、まず個別に展開し、最終的に掛け算を行う方法を紹介しました。また、掛け算を行わずに因数分解を使った別解も提案しました。いずれの方法でも最終的に得られる答えはa⁶ + 2a³b³ + b⁶となります。
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