漸化式の問題を解く方法：一般項の求め方

漸化式に関する問題は、数学の中でも少し難しく感じることがありますが、適切な方法を用いればしっかり解けるようになります。今回は、漸化式の問題である「a₁ = 2、aₙ₊₁ = aₙ + 3ⁿ」の一般項を求める方法を解説します。

1. 漸化式の理解

漸化式とは、数列の各項を前の項とその項に関する式で定めるものです。問題では、次のような漸化式が与えられています。

a₁ = 2, aₙ₊₁ = aₙ + 3ⁿ

ここで、aₙは数列のn番目の項を意味し、aₙ₊₁は次の項を示します。漸化式では、a₁が最初に与えられ、あとはその後の項を計算していく方法です。

まず、a₁が2と与えられているので、最初の項はa₁ = 2です。

次に、漸化式を使って次の項a₂を求めます。

a₂ = a₁ + 3¹ = 2 + 3 = 5

次に、a₃を求めます。

a₃ = a₂ + 3² = 5 + 9 = 14

このようにして、順番に項を計算していきます。

次に、漸化式を一般項の形に変換する方法を考えます。数列の一般項を求めるためには、漸化式の累積的な和を利用することが有効です。

漸化式から一般項を求めるためには、まず式を累積していきます。

aₙ = a₁ + (3¹ + 3² + ... + 3ⁿ⁻¹)

これを計算することで、一般項が求められます。ここで、(3¹ + 3² + … + 3ⁿ⁻¹)は等比数列の和であるため、公式を使って計算できます。

等比数列の和の公式を利用して、3¹ + 3² + … + 3ⁿ⁻¹を求めます。等比数列の和の公式は次の通りです。

Sₙ = a₁ * (rⁿ⁻¹) / (r - 1)

ここで、rは公比、a₁は初項です。この場合、公比rは3で、初項a₁は3¹ = 3です。

したがって、次のように計算できます。

3¹ + 3² + ... + 3ⁿ⁻¹ = 3 * (3ⁿ⁻¹ - 1) / (3 - 1) = (3ⁿ⁻¹ - 1) / 2

これを使って、一般項を次のように表せます。

aₙ = 2 + (3ⁿ⁻¹ - 1) / 2

これが、漸化式から導かれる一般項です。

今回の問題では、漸化式を使って数列の各項を計算し、最後に一般項を求める方法を解説しました。最初に漸化式を使って数列を計算し、次にその累積的な和を使って一般項を導出するという流れで進めました。

この方法を理解すれば、他の漸化式の問題にも応用が可能です。漸化式を解く際は、数列の性質や公式をしっかりと理解し、正確に計算を進めることが大切です。