公比rの求め方：初項と項の関係から計算する方法

数列の公比を求める問題は、幾何数列の基本的な計算方法です。特に初項や任意の項が与えられた場合、その公比を求めることで数列全体の挙動を理解することができます。この記事では、初項が100で第72項が10000といった情報から、幾何数列の公比rをどのように求めるかを解説します。

幾何数列の基本的な式

幾何数列の一般項は、次のように表すことができます。

a_n = a_1 imes r^{n-1}

ここで、a_nはn番目の項、a_1は初項、rは公比、nは項の番号を示します。この式を使うことで、任意の項を求めることができます。

問題では、初項a_1 = 100、第72項a_{72} = 10000が与えられています。これを基にして、公比rを求める方法を考えましょう。

まず、一般項の式を使って第72項を表現すると、次のようになります。

a_{72} = a_1 imes r^{71}

これに与えられた値を代入していきます。

10000 = 100 imes r^{71}

次に、r^{71}を求めるために両辺を100で割ります。

100 = r^{71}

最後に、両辺の71乗根を取って公比rを求めます。

r = 100^{1/71}

計算機を使って100^{1/71}を計算すると、r ≈ 1.047となります。これが求められた公比です。

このように、幾何数列の公比を求めるには、与えられた初項と特定の項を使って計算することができます。

幾何数列は、実生活でもよく見かけます。例えば、人口の増加、銀行の利子、あるいは物の価値の減少などが幾何数列に近い挙動を示します。公比が1より大きい場合、数列は急速に増加し、逆に1より小さい場合は減少します。

例えば、利子が複利でつく銀行口座では、残高が毎年同じ割合で増加します。この場合、利率が公比に相当します。

公比を求める際には、幾何数列の一般項の式を活用することが重要です。初項と特定の項がわかっていれば、公比を計算することができ、さまざまな問題に応用できます。今回の問題では、初項が100、第72項が10000という情報から、公比は約1.047であることがわかりました。