関数 y = √3sinθcosθ + cos²θ の最大値と最小値を求める問題で、範囲 -1/2≦sin(2θ + π/6)≦1 が得られた後に最大値が 3/2 である理由について解説します。本記事では、その手順を詳しく説明し、問題の解き方を明確にします。
関数 y = √3sinθcosθ + cos²θ の式を整理する
まず、与えられた関数 y = √3sinθcosθ + cos²θ を簡単に整理します。関数の形から見ると、y は sinθ と cosθ を含んでいます。この関数を扱いやすくするために、二重角の公式を活用します。
二重角の公式を利用する
二重角の公式により、sin(2θ) = 2sinθcosθ という関係があります。この公式を使って、関数 y を次のように変形します。
y = √3 * (1/2) * sin(2θ) + cos²θ
次に、cos²θ の項を扱います。この項は cos²θ = 1 – sin²θ という恒等式を用いて変形することができますが、この場合、さらに簡単にするために別の方法を考えます。
範囲 -1/2≦sin(2θ + π/6)≦1 の導出
次に、sin(2θ + π/6) の範囲が -1/2≦sin(2θ + π/6)≦1 となる理由を見ていきます。この範囲を得るためには、θ の範囲に制約をかける必要があります。具体的には、2θ + π/6 の値が sin の範囲内に収まるように、θ の値を調整します。
これにより、sin(2θ + π/6) の値は -1/2 から 1 の間に収まることが確認できます。
最大値 3/2 の導出
最大値 3/2 を得るためには、先程得られた sin(2θ + π/6) の範囲を使って、関数 y の最大値を求めます。y = √3 * (1/2) * sin(2θ) + cos²θ の式において、sin(2θ + π/6) が最大値 1 の時に y の値が最大となります。
したがって、最大値は次のように計算できます。
y = √3 * (1/2) * 1 + 1 = 3/2
これにより、y の最大値は 3/2 であることが確認できます。
最小値について
最小値を求めるためには、sin(2θ + π/6) の範囲が -1/2 の時に y の値を計算します。この場合も同様に、関数 y の最小値を求めることができます。
まとめ
関数 y = √3sinθcosθ + cos²θ の最大値と最小値を求める問題では、二重角の公式や sin(2θ + π/6) の範囲を利用することが重要です。最大値は 3/2 であることが確認でき、範囲を適切に設定することで解法を進めることができます。この問題の解き方を理解することで、他の類似問題にも対応できるようになります。
コメント