三角形ABCと正三角形ACDの交点Eを利用したDEの長さの求め方

数学

2025.04.14

この問題では、直角三角形ABCとその外側に描かれた正三角形ACDを用いて、線分DEの長さを求める方法を解説します。三角形ABCの頂点A、B、C、そして正三角形ACDの頂点Dを考慮し、交点Eで交わる線分ACとBDに注目します。

問題の設定と条件

まず、問題の設定を整理しましょう。三角形ABCは直角三角形で、∠A = 90°、辺BC = 2、辺AC = 1と与えられています。また、三角形ABCの外側に、辺ACを一辺とする正三角形ACDを描き、点Bと点Dを直線で結びます。さらに、線分ACと線分BDが交わる点Eを求め、線分DEの長さを求めます。

この問題は、図形の関係をうまく活用し、三角形の相似性や座標幾何を使うことで解くことができます。

まず、正三角形ACDに注目します。正三角形ACDでは、辺ACと辺ADが等しく、また角度がすべて60°であるため、点Dの位置は点Aと点Cを結んだ直線の方向に60°回転した点として考えることができます。

三角形ABCの直角∠A = 90°を利用し、三角形ABCとACDの位置関係を考慮することで、点Eがどの位置に来るかを求めることができます。ACとBDの交点Eを見つけるためには、両直線の方程式を立てて交点を計算する必要があります。

交点Eを求めるためには、まず線分ACと線分BDの方程式を導出します。ACは明確にx軸上にあり、点Aと点Cの座標から直線の方程式が求められます。次に、BDの方程式を求め、両方の直線の交点を計算することで、点Eの座標が得られます。

具体的には、ACとBDの方程式を連立させることによって、交点Eの座標を求め、その位置に基づいてDEの長さを求めることができます。

交点Eが求められた後、DEの長さを求めるには、点Dと点Eの座標を使って距離を計算します。2点間の距離は、次の公式を用いて計算できます。

DE = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

ここで、(x1, y1)と(x2, y2)はそれぞれ点Dと点Eの座標です。この公式を使って、DEの長さを求めることができます。

この問題では、三角形ABCとその外側に描かれた正三角形ACDを用いて、交点Eと線分DEの長さを求める方法を解説しました。正三角形ACDの特性や直角三角形ABCの関係を利用することで、交点Eの位置を求め、最終的にDEの長さを計算することができます。