(nC0)² + (nC1)² + (nC2)² + ... + (nCn)² が 2nCn にまとめられる理由

組み合わせの公式でよく出てくる式 (nC0)² + (nC1)² + (nC2)² + … + (nCn)² は、なぜ 2nCn にまとめられるのでしょうか。この記事では、その理由と、どのようにしてこの式が簡略化されるのかを詳しく解説します。

組み合わせの基本的な概念

まずは組み合わせの基本を確認しておきましょう。nCr（n の中から r 個を選ぶ組み合わせの数）は次の式で表されます。

nCr = n! / (r!(n – r)!)

ここで、n! は n の階乗、r! は r の階乗、(n – r)! は (n – r) の階乗を意味します。この式を使って、組み合わせを求めることができます。

この式が 2nCn にまとめられる理由を理解するために、まず組み合わせの二重和を考えます。次のような式が成り立ちます。

(nC0)² + (nC1)² + (nC2)² + … + (nCn)² = (2nCn)

この結果は、組み合わせの恒等式から導き出されます。実は、この式は二項定理を応用したものであり、組み合わせの性質を利用することで簡単に導くことができます。

二項定理を使うことで、この式がなぜ 2nCn に簡略化されるかを理解することができます。二項定理によれば、次のような展開式が得られます。

(1 + 1)² = nC0 + nC1 + nC2 + … + nCn

この式を適用すると、組み合わせの二乗を足し合わせる形の式がどのように 2nCn となるかがわかります。

上記の考察を元に、最終的に (nC0)² + (nC1)² + (nC2)² + … + (nCn)² が 2nCn になることが証明できます。つまり、組み合わせの二乗の和は、n の組み合わせにおける 2n から r を選ぶ組み合わせの数と等しくなるのです。

具体例を使って確認してみましょう。例えば、n = 3 の場合、次のような組み合わせの二乗の和が成り立ちます。

これらを足し合わせると、1 + 9 + 9 + 1 = 20 となります。これが 2nCn の場合と一致することが確認できます。

今回の問題で示された (nC0)² + (nC1)² + (nC2)² + … + (nCn)² の式が 2nCn にまとめられる理由は、組み合わせの恒等式や二項定理を活用することで明らかになります。数学の基本的な定理を理解し、応用することで、複雑な式を簡単に解くことができます。