中学3年生の数学で扱う展開に関する問題は、計算ミスや考え方の違いで悩むことがあります。今回は、展開の途中で出てきた疑問について詳しく解説していきます。特に、(6x-y)(-x+3y)の展開結果がなぜ-6x² + 19xy – 3y² になるのか、またxの代わりに異なる文字を使う場合の展開方法について考えていきましょう。
1. (6x – y)(-x + 3y) の展開について
まず、(6x – y)(-x + 3y) の展開から始めます。展開式は次のようになります。
(6x – y)(-x + 3y) = 6x(-x) + 6x(3y) – y(-x) – y(3y)
これを計算すると。
= -6x² + 18xy + xy – 3y²
つまり、最終的に得られる式は。
-6x² + 19xy – 3y² となります。質問者の式である -6x² + 12xy – 3y² では、xy の項が 12 となっていますが、実際には 19xy になるため、この差異は計算の途中での展開方法に起因します。
2. 展開における計算のポイント
展開式の計算をするとき、項の計算を正確に行うことが非常に重要です。質問者が誤って12xyと考えた理由は、2項の掛け算で1つの項だけを間違えて計算したためです。正しい手順で展開すると、正しい項数を得ることができます。
また、式を変形する際は、掛け算と加算をきちんと区別して行うようにしましょう。
3. (x + 2)(x + 4) の展開と異なる変数の取り扱い
次に、(x + 2)(x + 4) の展開について考えます。展開すると次のようになります。
(x + 2)(x + 4) = x² + 4x + 2x + 8
= x² + 6x + 8 となります。質問者の考えた x² + 6x + 8 が正しい答えです。
ここで重要なのは、x 以外の文字（この場合 2 と 4）についても同様の方法で計算する点です。異なる文字が使われている場合でも、基本的な展開方法は変わりません。
4. 数字や文字が異なっても展開方法は同じ
最後に、xの代わりに異なる文字を使った場合について説明します。たとえば、a と b を使って同様の計算を行う場合、展開方法自体は変わりません。
例えば、(a + 2)(a + 4) を展開すると。
(a + 2)(a + 4) = a² + 4a + 2a + 8
= a² + 6a + 8 となります。このように、文字が異なる場合でも、展開のルールは同じです。
5. まとめ
数学における展開の基本は、掛け算の順番と加算項目を正確に扱うことです。また、式に使われている文字が異なる場合でも、計算方法は変わらず、しっかりと展開を行うことが大切です。次回、同様の問題に取り組む際には、きちんと順を追って計算し、各項を注意深く扱いましょう。
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