このページでは、重積分の計算方法について解説します。特に、与えられた領域 D の上で、積分 ∬D ｘ²ｙ ｄｘｄｙ を解く方法を詳しく見ていきます。領域Dは、x と y の範囲が与えられた条件を満たす領域です。このような問題を解くには、まず積分領域を正確に把握し、その後積分を進める必要があります。
問題の整理
まず、与えられた領域 D を理解することが重要です。領域 D は、以下の条件を満たす (x, y) の組み合わせから成り立っています。
- 0 ≦ x ≦ 2
- 0 ≦ y
- x + y ≦ 4
- x² + y² ≦ 4
これらの条件を元に、積分の範囲を決めます。積分領域が定まったら、次に重積分の式を解く準備をします。
領域Dの理解と積分範囲の決定
領域 D の制約をグラフで確認すると、直線 x + y = 4 と円 x² + y² = 4 の交点を求めることができます。この交点により、積分範囲が決まります。
具体的には、x の範囲は 0 ≦ x ≦ 2 で、y の範囲は x + y ≦ 4 および x² + y² ≦ 4 という制約に基づいて決まります。これらを元に積分範囲を設定することが重要です。
積分の計算方法
次に、積分式 ∬D ｘ²ｙ ｄｘｄｙ を解く方法を紹介します。まず、積分の順番を決定し、x または y に関して積分を進めます。一般的には、積分範囲に従って順番に積分を行います。
この場合、内積分と外積分に分け、具体的な数値を求めることができます。計算を進めることで、最終的に答えが得られます。
計算例と結果
実際に計算を進めると、積分結果は 32/5 となります。この結果が問題の解答となります。計算過程でのステップを丁寧に追い、各段階での理解を深めることが重要です。
計算の途中で出てくる式の変形や積分の順序変更が、正しい結果に繋がります。しっかりとした計算力を養うことが、このような問題を解くために必要です。
まとめ
重積分を解くためには、まず問題で与えられた条件を正確に理解し、積分範囲を決定することが重要です。その後、積分の順番を決めて計算を進めることで、正しい結果が得られます。この問題では、最終的に 32/5 という解が得られました。
積分計算は、十分に練習を重ねることでスムーズに解けるようになります。問題の分析力と計算力を高めることで、より複雑な問題にも対応できるようになるでしょう。
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