1円から始める貯金と硬貨の組み合わせ問題の解説

この問題では、毎日貯金をしていく中で、硬貨をできるだけ少なくしていく方法について考えます。特に、1円硬貨と5円硬貨の使い方、そしてその組み合わせがどのように決まるのかについて、具体的に解説していきます。

問題の設定と基本的な考え方

問題では、1日目から毎日1円ずつ金額が増えていき、貯まった金額でできるだけ少ない数の硬貨を使うように求められています。例えば、3日目には1+2+3で6円が貯まり、これを5円硬貨と1円硬貨で支払うことになります。さて、どのようにして1円硬貨と5円硬貨が無くなる日を求めるのでしょうか？

まず、問題の中で「1円硬貨と5円硬貨が共に無くなる日」を求める方法について考えます。n(n+1)が20の倍数になる日がそれに該当するため、まずこの条件に合う日を見つけます。計算式は次のように進みます。

n(n+1) = 20の倍数である日を求めるために、いくつかの条件を満たす日を挙げてみます。たとえば、nが4の倍数、またはn+1が4の倍数である場合が考えられます。このように、規則的に現れる日を探していくことで、1円硬貨と5円硬貨が無くなる日が分かります。

次に、問題(2)について解説します。問題(2)では、1日目から50日目までに何回1円硬貨と5円硬貨が無くなるかを求めます。これを解くには、先ほど求めた条件を元に、50日以内にそのような日が何回現れるのかを計算します。具体的には、n(n+1)が20の倍数である日を数えることになります。

nが4の倍数や5の倍数などの条件に従って計算し、日付を割り出していきます。計算が進むことで、1円硬貨と5円硬貨が共に無くなる日が何回あるかが分かります。

問題(3)では、123回目に1円硬貨と5円硬貨が無くなる日を求める必要があります。これは、問題(2)の計算結果を基に、さらにその先の回数を計算する方法です。具体的には、4日目や15日目、19日目など、定期的に現れる日を基に計算を行います。

これを繰り返すことで、123回目に該当する日が分かります。計算結果は、実際の問題の中で求められた答えと一致します。

この問題は、数学的な計算だけでなく、規則的なパターンを見つけ出す能力を養う良い練習となります。実際の生活でも、物事の規則性を見つけて予測することは多くあります。例えば、貯金や支出のパターンを予測する際にも同じような計算方法が応用できます。

このように、数学的な問題を解くことで、思考力や論理的な分析力を高めることができ、日常生活にも役立つスキルを養うことができます。