自然数の解法: 方程式 n^(2n) = (2n)^n の解き方

このページでは、方程式 n^(2n) = (2n)^n を満たす自然数 n の解を求める方法について解説します。この問題は新高1の生徒向けとして作問され、入試の答案のようにしっかりとした解答が求められます。

問題の整理とアプローチ

まず、与えられた方程式 n^(2n) = (2n)^n を理解しましょう。これを解くためには、n の具体的な値を代入してみる方法を使うことが基本です。方程式の左右の式を比べることで、自然数 n に対する解を見つけることができます。

また、この方程式には指数の計算を適切に扱う必要があります。指数法則に基づいて、式を簡単化し、解を求めやすくする方法を考えてみましょう。

方程式を解くために、まず少ない n の値を試してみることから始めます。例えば、n = 1 の場合、左辺は 1^(2×1) = 1 となり、右辺は (2×1)^1 = 2 となります。この場合、式が成り立たないため、n = 1 は解ではありません。

次に、n = 2 の場合を考えます。左辺は 2^(2×2) = 2^4 = 16 となり、右辺は (2×2)^2 = 4^2 = 16 です。このように、n = 2 の場合に式が成り立つことがわかります。

次に、n の値が大きくなった場合の解法について考えてみましょう。方程式 n^(2n) = (2n)^n の右辺と左辺は、n の値が大きくなると指数的に増加します。そのため、手計算で解くのは非常に難しくなります。

この問題を一般的に解くためには、対数を使う方法が有効です。両辺の対数を取ることで、指数を扱いやすくし、より簡単に解くことができます。

方程式 n^(2n) = (2n)^n の解を求めるためには、まず少ない自然数 n の値を試してみることが有効です。n = 2 の場合に式が成り立つことがわかり、この問題の解は n = 2 です。より一般的な解法を試みるには、対数を使った方法が役立ちます。

この問題は、自然数の計算と指数法則を理解し、正確に進めるための良い練習問題です。解法を身につけることで、他の類似の問題にも対応できるようになります。