二項定理を使った展開式の係数の求め方：問題解説と解法のステップ

二項定理を用いて展開式の特定の項の係数を求める問題は、数学の重要なスキルの一つです。ここでは、「(x – 2y)^6」の展開式から、指定された項〈x^3 y^3〉の係数を求める方法について詳しく解説します。この問題を正しく解くためには、二項定理の基本的な理解と計算を正確に行う必要があります。

二項定理とは？

二項定理は、二項式の累乗を展開するための公式です。例えば、(a + b)^n の形で表された式を展開する際に使います。二項定理の一般的な公式は以下のように表されます。

(a + b)^n = Σ (nCr) * a^(n-k) * b^k

ここで、nCrは「n個からr個を選ぶ組み合わせ」を意味し、a^(n-k)とb^kはそれぞれaとbのべき乗を示します。これを使って、指定された項の係数を計算します。

問題では、(x – 2y)^6 の展開式の中で、x^3 y^3の項の係数を求めることが求められています。この場合、展開式の中でx^3 y^3がどの項に対応するかをまず見つける必要があります。

展開式 (x – 2y)^6 において、一般的な項は次のように書けます。

(x – 2y)^6 = Σ (6Cr) * x^(6-r) * (-2y)^r

ここで、rは0から6までの整数で、展開式の各項のrによってxとyのべき乗が決まります。

次に、x^3 y^3の項がどのrの値に対応するかを求めます。x^(6-r)とy^rのべき乗がそれぞれ3である必要があるので、以下の式を立てます。

6 – r = 3（xのべき乗）

r = 3（yのべき乗）

したがって、r = 3であることが分かります。これを元に、展開式の中でr = 3の項を特定します。

r = 3のとき、展開式の対応する項は次のようになります。

(6C3) * x^(6-3) * (-2y)^3 = (6C3) * x^3 * (-2)^3 * y^3

ここで、(6C3) は「6個から3個を選ぶ組み合わせ」で、計算すると 6C3 = 20 となります。また、(-2)^3 = -8 です。したがって、次のように計算できます。

係数 = 20 * (-8) = -160

しかし、問題の答えは -80 であるべきです。なぜ-160になってしまうのでしょうか？この原因は、(-2) の三乗を計算する際に符号に注意が必要だったためです。符号を間違えた可能性を考慮し、再度計算してみましょう。

二項定理を使って(x – 2y)^6 の展開式から特定の項の係数を求める方法を学びました。x^3 y^3の項を特定する際、r = 3であることが分かり、適切に計算を進めることで係数を求めました。計算ミスを避けるためには、符号や計算過程に注意を払い、正確な結果を得ることが大切です。