微分は、関数の変化率を求める重要な数学的手法です。特に三角関数を含む微分は、微積分の基本的なスキルの一つです。本記事では、sin(2x)/2(sin(x) + cos(x)) の微分をどのように進めるかをステップごとに解説します。実際に手を動かしながら、どのように微分を行うかを理解していきましょう。
微分の準備：式の確認
まず、与えられた式を確認しましょう。式は次の通りです。
f(x) = \frac{sin(2x)}{2(sin(x) + cos(x))}
この式には、分数形式の関数が含まれており、分子と分母には三角関数が含まれています。微分を行うためには、分数の微分法則である商の微分法則を使用します。
商の微分法則の適用
商の微分法則を使用する前に、商の微分法則とはどのようなものかを確認しましょう。商の微分法則は、次のように表されます。
\frac{d}{dx} \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right) = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{(v(x))^2}
ここで、u(x) は分子、v(x) は分母、u'(x) と v'(x) はそれぞれの微分です。この法則を使って、与えられた式の微分を求めます。
分子と分母の微分
次に、分子と分母をそれぞれ微分します。
まず、分子は sin(2x) です。これは、合成関数の微分を用いて計算します。
\frac{d}{dx}(sin(2x)) = 2cos(2x)
次に、分母は 2(sin(x) + cos(x)) です。これを微分すると、以下のようになります。
\frac{d}{dx}(2(sin(x) + cos(x))) = 2(cos(x) – sin(x))
微分結果のまとめ
商の微分法則を適用すると、最終的な微分結果は以下のようになります。
f'(x) = \frac{2cos(2x)(2(sin(x) + cos(x))) – sin(2x)2(cos(x) – sin(x))}{(2(sin(x) + cos(x)))^2}
これが与えられた式 f(x) = \frac{sin(2x)}{2(sin(x) + cos(x))} の微分結果です。
まとめ
三角関数の微分は、商の微分法則をうまく活用することで効率的に計算することができます。この問題では、分子と分母をそれぞれ微分し、商の微分法則を適用することで最終的な微分結果を得ることができました。微分の基本的な手順を押さえることで、他の三角関数を含む式にも対応できるようになります。
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