関数y=√7sinθ + 3cosθの最大値と最小値の求め方

この問題では、0 ≤ θ < 2πの範囲で関数y = √7sinθ + 3cosθの最大値と最小値を求める方法について解説します。三角関数の組み合わせによる最大値と最小値を求める問題はよく出題されますが、解法にはいくつかのアプローチがあります。本記事では、簡単で効果的な方法を紹介します。

問題の整理とアプローチ

与えられた関数y = √7sinθ + 3cosθは、sinθとcosθの線形結合です。このような関数を扱う場合、まずはその形を簡略化して、より扱いやすい形にすることが重要です。

関数の最大値と最小値を求めるためには、まず関数がどのように変化するかを理解し、次に最大値と最小値を簡単に求める方法を見つける必要があります。これには、三角関数の加法定理を活用する方法が有効です。

まず、y = √7sinθ + 3cosθという関数を別の三角関数の形に変換します。これを行うために、関数を次の形に変形します。

y = Rsin(θ + α)の形に変換します。ここでRは振幅、αは位相を表します。Rは次のように求めます。

R = √( (√7)² + 3² ) = √(7 + 9) = √16 = 4

これにより、元の関数yは次のように変形できます。

y = 4sin(θ + α)

y = 4sin(θ + α)の関数において、sin(θ + α)の最大値は1、最小値は-1であることが知られています。

したがって、yの最大値は4×1 = 4、最小値は4×(-1) = -4です。

関数y = √7sinθ + 3cosθの最大値と最小値は、それぞれ4と-4です。三角関数の合成を利用することで、複雑な形の関数を簡単に解析し、最大値と最小値を求めることができます。この方法は、他の類似した問題にも応用できるので、ぜひ覚えておきましょう。