今回の問題は、与えられた命題が真であるための定数kの値の範囲を求める問題です。命題には、実数xが-2≦x≦3の範囲にあるという条件と、それに対応するkの範囲が関連しています。この問題では、数Ⅰの基本的な論理を使って解いていきます。
問題の確認と必要な条件の整理
まず、問題文を確認しましょう。与えられている命題は次のようになります。
-2≦x≦3 ➾ k-6≦x≦k
ここで、xが-2から3の範囲にあるとき、この命題が成立するためには、どのようなkの値が必要かを求めます。
命題の解釈
命題の最初の部分「-2≦x≦3」は、xが-2以上3以下の範囲にあることを示しています。次に、「k-6≦x≦k」という範囲が与えられています。この式が真であるためには、xがこの範囲内に収まる必要があります。
つまり、xが-2≦x≦3の範囲にあるとき、k-6≦x≦kが成立する必要があります。この条件を満たすkの値を求めることが目標です。
解法のステップ
次に、この命題が成立するためにkの範囲を求める方法を説明します。まず、xが-2≦x≦3の範囲にあるとき、xがk-6≦x≦kの範囲に収まるためには、次の2つの不等式を満たす必要があります。
1. k-6≦-2
2. 3≦k
これらの不等式をそれぞれ解いていきます。
不等式の解法
まず、1番目の不等式を解きます。
k – 6 ≦ -2
k ≦ 4
次に、2番目の不等式を解きます。
3 ≦ k
これにより、kの範囲は次のように求められます。
3 ≦ k ≦ 4
結果の確認と結論
これにより、定数kが3以上4以下であるとき、命題が成立することがわかりました。したがって、kの範囲は3≦k≦4となります。
このように、与えられた条件からkの範囲を求めるためには、不等式の計算を慎重に行い、xが所定の範囲に収まるようにkを求めました。この手順は、数Ⅰの基本的な問題解決の方法に基づいています。
まとめ
今回の問題では、与えられた命題が真であるための定数kの範囲を求める問題でした。xの範囲とkの範囲の関係を不等式を使って計算し、kが3以上4以下であることがわかりました。このような問題を解くには、命題の条件をしっかりと整理し、不等式を解く力が重要です。
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