この問題は、2点A(6, -9)とB(-8, -2)を結ぶ線分ABを6:1に内分する点を中心とし、点Bを通る円の方程式を求める問題です。円の方程式を求めるためには、まず内分点の座標を求め、次にその点を中心として、点Bを通る円の半径を計算します。この記事では、問題の解法をわかりやすく解説します。
内分点の座標を求める
まず、線分ABを6:1に内分する点の座標を求めます。内分の公式は次のようになります。
内分点P(x, y)の座標は、以下の式で求められます。
P(x, y) = ((m * x2 + n * x1) / (m + n), (m * y2 + n * y1) / (m + n))
ここで、A(x1, y1) = (6, -9)、B(x2, y2) = (-8, -2)、m = 6、n = 1です。
この公式に代入して計算すると、内分点Pの座標は次のように求められます。
P(x, y) = ((6 * -8 + 1 * 6) / (6 + 1), (6 * -2 + 1 * -9) / (6 + 1))
P(x, y) = ((-48 + 6) / 7, (-12 – 9) / 7) = (-42 / 7, -21 / 7) = (-6, -3)
したがって、内分点Pの座標は(-6, -3)です。
円の方程式を求める
次に、点P(-6, -3)を中心として、点B(-8, -2)を通る円の方程式を求めます。円の方程式は次の形式で表されます。
(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2
ここで、(h, k)は円の中心の座標、rは半径です。今回、円の中心はP(-6, -3)なので、h = -6、k = -3となります。
次に、半径rを求めます。半径rは、円の中心P(-6, -3)から点B(-8, -2)までの距離です。距離の公式を使って、rを求めます。
距離d = √((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2)
ここで、(x1, y1) = (-6, -3)、(x2, y2) = (-8, -2)です。距離dは次のように計算できます。
d = √((-8 – (-6))^2 + (-2 – (-3))^2) = √((-8 + 6)^2 + (-2 + 3)^2) = √((-2)^2 + (1)^2) = √(4 + 1) = √5
したがって、半径rは√5です。
円の方程式
これで円の方程式が求められます。円の方程式は次のようになります。
(x + 6)^2 + (y + 3)^2 = 5
これが、点P(-6, -3)を中心として、点B(-8, -2)を通る円の方程式です。
まとめ
この問題では、まず線分ABを6:1に内分する点を求め、その点を中心として円の方程式を導出しました。内分点の座標を求めるためには内分の公式を使用し、その後、円の方程式を求めるために、円の中心と半径を計算しました。最終的に求められた円の方程式は、(x + 6)^2 + (y + 3)^2 = 5 です。
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