誤差の考え方と分散の関係｜統計学における誤差の意味とその解説

統計学における「誤差」という概念は、実際の観測値と理論値、または期待値とのズレを表します。特に、標本平均の誤差について考える際に、「誤差は元の分散の1/nになる」という記述に戸惑うことがあります。この記事では、この誤差の考え方と分散との関係について、わかりやすく解説します。

誤差とは？統計学での基本的な理解

統計学における「誤差」は、実際に観測された値と、理論的に予想される値との差を指します。誤差は、観測値がどれだけ期待値から離れているかを示す指標であり、データの変動性を測る重要な要素です。

「誤差」は単に間違いを意味するものではなく、実験や観察における自然な変動や不確実性を示します。特に、標本平均を使用する際に誤差は分散と関連しており、次に説明するように、サンプルの大きさに依存します。

統計学では、データの広がりや散らばりを表す指標として「分散」が使われます。分散は、データの各値が平均からどれだけ離れているかを示す値で、計算式は次の通りです。

分散 = Σ(各値 – 平均)² / (n-1)

ここで、nはサンプルのサイズを示します。この分散の考え方が誤差にどのように関係するのでしょうか。

質問にあった「誤差は元の分散の1/n」という言葉は、標本平均の誤差が標本のサイズnに依存することを示しています。特に、標本平均を計算する場合、標本から得られる平均値の分散は、母集団の分散をnで割ったものになります。

これを数学的に表すと、標本平均の分散は母集団分散（σ²）をnで割ったものになります。つまり、標本が大きくなると、標本平均の誤差（変動）は小さくなり、精度が向上することを意味します。この関係が「誤差は元の分散の1/n」という表現の背景です。

例えば、母集団の分散がσ² = 25だとしましょう。この場合、標本平均の分散は次のように計算されます。

標本平均の分散 = σ² / n = 25 / n

もし、標本サイズがn = 100であれば、標本平均の誤差の分散は25 / 100 = 0.25となります。このように、標本サイズが大きくなるほど、標本平均の誤差が小さくなり、より精度の高い推定が可能になります。

「誤差は元の分散の1/n」という考え方は、標本平均を求める際の誤差が、標本サイズnに反比例して減少することを示しています。標本サイズが大きくなることで、標本平均の精度が高まり、母集団の真の平均に近づくことが理解できます。

この概念は、統計学における重要な理論であり、標本を使った推定や仮説検定において不可欠な考え方です。分散との関係を理解することで、誤差の取り扱いがより明確になり、統計解析が一層深く理解できるようになります。