高校数学や大学の数学でよく扱われる問題の一つに、円の方程式と直線との位置関係を利用して、与えられた関数の最大値や最小値を求める問題があります。この記事では、実数x, yが満たす条件x^2 + y^2 = 1のもとで、関数x + 3yの最大値と最小値を求める方法について解説します。
問題の設定と目標
問題は、次のように設定されています。
実数x, yが満たす条件：x^2 + y^2 = 1（この式は単位円を表しています。）
このとき、x + 3yの最大値と最小値を求めなさい、という問題です。
解法のアプローチ
解法を始める前に、まず直感的に「x + 3yの最大値や最小値を求める」ことが重要です。この問題を解くために、直線の方程式x + 3y = kの形を考え、yをxの式に置き換えることで式を整理します。
まず、2x + 3y = kと仮定し、yを求めると、y = (k/3) – (2/3)xとなります。これを円の方程式x^2 + y^2 = 1に代入し、xとkの関係を導きます。
二次方程式における判別式を用いる
式に代入すると、13x^2 – 4kx + k^2 – 9 = 0という二次方程式が得られます。この二次方程式の解が実数解を持つためには、判別式Dが0以上でなければなりません。
判別式Dを計算すると、D/4 = -9(k^2 – 13)≧0となり、kの範囲が次のように求められます：√13 ≦ k ≦ -√13となり、最小値と最大値がそれぞれ-√13と√13に決まります。
具体的な解法のステップ
実際に問題を解くためには、次のステップを踏みます。
- 1. 直線の方程式x + 3y = kにおいて、yをxの式で表します。
- 2. その式を円の方程式x^2 + y^2 = 1に代入して、xとkの関係を求めます。
- 3. その結果得られる二次方程式の判別式Dを計算し、実数解を持つための条件を求めます。
- 4. kの範囲を求め、その最小値と最大値を導きます。
この手順を踏んでいくことで、x + 3yの最大値と最小値を正確に求めることができます。
解法のポイントと注意点
問題を解く上で重要なのは、判別式を正しく計算することと、変数の関係を正確に導くことです。特に、yをxの式に置き換えることで簡単な形に変換し、二次方程式の判別式を使って解の範囲を求める手法は、この問題を効率的に解くための重要なポイントです。
また、最終的に得られるkの範囲が√13≦k≦√13となり、これによりx + 3yの最大値は√13、最小値は-√13であることが分かります。
まとめ：実数解を持つ条件から最大値・最小値を導く方法
実数x, yが満たす条件x^2 + y^2 = 1のもとで、x + 3yの最大値と最小値を求める方法は、直線の方程式を使い、yをxの式で表現して代入することで、二次方程式を得て解くことができます。その後、判別式を使って解の実数解を確保し、kの範囲を求めることで、最大値と最小値を求めることができます。
数学的なアプローチにおいて、こうした問題を理解し解けるようになることは、問題解決能力を高めるうえで非常に役立ちます。引き続き、数学の基本的な方法論を理解し、応用力を身につけましょう。
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