数学の式変形について【展開と因数分解】

数学の式を展開して整理する際、特に因数分解を使って簡潔に表現する方法を学ぶことはとても重要です。今回は、次の式変形が正しいかどうかについて考えます。

問題の式

最初に与えられた式は次の通りです。

(a + b + c)(-a – b – c)

これを展開すると、次のようになります。

-a² – ab – ac – ab – b² – bc – ac – bc – c²

ここまで展開すると、-a² – b² – c² – 2ab – 2bc – 2ac となります。

次に、この式を次のように変形したいという問いに対して、変形の過程を見ていきましょう。

式変形は以下のように行われています。

(a + b + c)(-a – b – c) = (a + b + c)[-(a + b + c)] ···①

そして、次の式へと進みます。

= -[(a + b + c)²] ···②

この式変形が数学的に正しいかを確認するために、まず①式を見てみましょう。

式①は、(a + b + c)に-(a + b + c)を掛け算する形です。この式変形自体は数学的に正しいです。なぜなら、-(a + b + c)はa + b + cの符号を反転させたものなので、そのまま掛け算をしても問題ありません。

次に式②に関してですが、-(a + b + c)²という表現は、確かに①式の結果と一致します。具体的には、(a + b + c)²を展開すると、元々の式と同じ項になります。したがって、この式変形も正しいと言えます。

このように式を因数分解していく過程で、符号に注意しながら式を整理することが重要です。さらに、因数分解を使うことで、展開の際の計算量を減らすことができ、問題を効率的に解くことができます。

与えられた式を因数分解していく過程で、最初の式から出発し、正しい手順を踏んで式変形を行うことが重要です。質問の式変形に関して、①から②への変形は正しく、数学的にも適切な手順であると言えます。