多項式とは？x+(3/x) や (x^2)-√x +1 が多項式にならない理由

数学の多項式について理解を深めるため、まずは多項式の定義をしっかりと押さえておくことが重要です。この記事では、なぜ式「x + (3/x)」や「(x^2) – √x + 1」が多項式でないのか、その理由について解説します。

多項式の定義とは？

多項式とは、変数（例えばx）と定数を組み合わせた式で、項同士が加減算で結ばれているものです。多項式の特徴は、各項が変数の整数乗で表される点です。例えば、x^2 + 3x + 5のような式が多項式です。

多項式の各項は、変数の冪乗が整数でなければなりません。これにより、多項式が成り立つためには、各項の中に分数や平方根、負の冪乗などが含まれていない必要があります。

「x + (3/x)」という式を見てみましょう。この式はxに関する項を2つ持っていますが、(3/x) の部分が問題です。なぜなら、(3/x)はxの冪乗が-1という負の冪乗を持つ項だからです。

多項式では、各項がxの整数乗で表現されることが必要です。そのため、(3/x) は多項式の定義に反しており、この式は多項式ではありません。

次に、式「(x^2) – √x + 1」を考えましょう。この式の中で問題となるのは、√x の部分です。√x はxの1/2乗です。このように、xの冪乗が整数でない場合、その項は多項式の定義に合致しません。

多項式では、変数が整数乗で表される必要があります。したがって、√x（xの1/2乗）は多項式の条件を満たしていません。このため、この式も多項式ではないことがわかります。

多項式は、変数が整数の冪乗であることが求められます。一方で、分数や平方根、負の冪乗が含まれている場合、それは多項式ではありません。この違いをしっかりと認識することが、数学を学ぶ上で非常に重要です。

例えば、x^3 + 2x^2 + 4のような式は多項式ですが、x^(-2) + √xのような式は多項式ではありません。このように、式の中に整数冪の項だけが含まれているかどうかを確認することが、多項式を見分けるポイントです。

「x + (3/x)」や「(x^2) – √x + 1」が多項式にならない理由は、それぞれの項の中に整数乗ではない冪乗が含まれているからです。多項式の定義において、各項の冪乗は整数でなければならないというルールを理解することが大切です。

今後、このルールを基に多項式かどうかを判断する際に、分数の冪乗や平方根を含む項がある場合には注意が必要です。