微分を使用して、円の接線の傾きを求める方法は数学的に重要なスキルです。この記事では、円の方程式 x² + y² = 2 における接線の傾きを、具体的な計算手順とともに解説します。特に、点(1/5, 7/5)における接線の傾きを求める過程を詳細に説明します。
円の方程式と接線の傾きの概念
円の方程式 x² + y² = r² の場合、接線の傾きを求めるには微分を利用します。微分を用いることで、接線の傾きが求められるポイントを見つけることができます。この方法は、特定の点での接線を求める際に非常に便利です。
一般的に、接線の傾きは、その点での関数の導関数を用いて求めます。ここでは、方程式 x² + y² = 2 の微分を行い、特定の点における接線の傾きを求めます。
円の方程式 x² + y² = 2 の微分
まず、x² + y² = 2 の両辺を x について微分します。ここで、y は x の関数とみなすため、y² を微分するときにはチェーンルールを適用します。
微分の結果は次のようになります。
2x + 2y(dy/dx) = 0この式から、接線の傾きを求めるためには dy/dx を解く必要があります。
点(1/5, 7/5)における接線の傾きの計算
次に、点(1/5, 7/5)での接線の傾きを計算します。微分した式 2x + 2y(dy/dx) = 0 に、x = 1/5 および y = 7/5 を代入します。
計算の結果は次のようになります。
2(1/5) + 2(7/5)(dy/dx) = 0これを解くと、dy/dx = -1/7 となります。この値が点(1/5, 7/5)における接線の傾きです。
微分の重要性と接線の計算における注意点
微分を使って接線の傾きを求める方法は、円や曲線のような多くの数学的問題で広く使用されています。しかし、微分の際にはチェーンルールや合成関数の取り扱いに注意する必要があります。
また、接線の傾きはその点における曲線の変化率を示しており、物理学や工学などの分野でも重要な役割を果たします。計算ミスを避けるため、手順を慎重に進めることが求められます。
まとめ
円の方程式 x² + y² = 2 における点(1/5, 7/5)での接線の傾きを求める方法を解説しました。微分を使うことで、接線の傾きを簡単に求めることができます。今回の例では、接線の傾きが -1/7 であることがわかりました。この方法は、他の円や曲線にも応用可能です。
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