サイコロの確率問題：Nが4の倍数であるとき、少なくとも1回は奇数が出る確率の求め方

サイコロを3回投げて、それぞれの目をa、b、cとしたとき、N=a×b×cと定義します。このNが4の倍数であったとき、少なくとも1回は奇数が出る確率を求める問題について、確率論的なアプローチで解説します。

1. 問題の理解と前提条件

まず、問題の前提を整理しましょう。サイコロの目は1から6までの整数で、奇数は1、3、5、偶数は2、4、6です。Nが4の倍数となる条件を満たすためには、a×b×cが4で割り切れる必要があります。この条件を満たすためには、奇数と偶数がどのように絡むのかを理解することが重要です。

次に、3回サイコロを投げる際に、少なくとも1回は奇数が出る確率を求めるためには、異なる目が出る確率を詳しく分析する必要があります。

まず、N = a × b × cが4の倍数となるためには、a、b、cのうち少なくとも2つの目が偶数でなければなりません。なぜなら、偶数の掛け算によって2が掛け合わされることで、4の倍数が得られるためです。

サイコロの目の中で偶数は2、4、6、奇数は1、3、5です。ここで重要なのは、2つの偶数の掛け算が4の倍数になるという点です。したがって、少なくとも2回は偶数が出る必要がありますが、残り1回の目については奇数でも問題ありません。

次に、問題の核心である「少なくとも1回は奇数が出る確率」を求めます。まず、サイコロを3回投げる場合、各回で奇数が出る確率は1/2です。同様に、偶数が出る確率も1/2です。

「少なくとも1回奇数が出る確率」を求めるために、「奇数が1回も出ない確率」をまず計算します。サイコロを3回投げて全て偶数が出る確率は、(1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/8です。この確率を使って、「少なくとも1回奇数が出る確率」は、1 – 1/8 = 7/8となります。

Nが4の倍数であり、かつ少なくとも1回奇数が出る確率を求めるためには、Nが4の倍数である確率と少なくとも1回奇数が出る確率を組み合わせる必要があります。Nが4の倍数になるためには、2つ以上の偶数が出る必要があるため、偶数が1回しか出ない場合はNが4の倍数になりません。

したがって、確率の計算においては、偶数が2回以上出る条件を満たす場合に絞り込み、その中で少なくとも1回奇数が出る確率を考えます。

この問題では、サイコロの目が偶数と奇数に分かれる確率を考慮しながら、Nが4の倍数となる条件と少なくとも1回奇数が出る確率を求めました。確率論を駆使することで、問題の要件を満たす確率をしっかりと導き出すことができます。

このような問題に対しては、細かい条件を整理しながら一つ一つの確率を計算することが解法の鍵です。確率問題を解く際には、前提条件を整理し、関連する確率を計算することが重要です。