三角関数の展開において、符号や計算順序による違いが問題となることがあります。特に、cos{3(t+π/2)}の展開に関する問題で、式の順序によって結果が異なる理由を理解することは、三角関数の基本的な性質を理解する上で非常に重要です。この記事では、cos{3(t+π/2)}を展開する際に起こる符号の違いとその原因について解説します。
三角関数の基本的な展開方法
まず、三角関数を展開する基本的な方法を振り返りましょう。三角関数の加法定理に基づいて、例えばcos{(A + B)}のような形は、cosA cosB – sinA sinBという形に展開できます。これを利用して、問題の式cos{3(t+π/2)}を展開する際にも同様に適用します。
したがって、cos{3(t+π/2)}はまず、cos{3t + 3(π/2)}として展開でき、これを加法定理によりcos{3t}cos{3(π/2)} – sin{3t}sin{3(π/2)}となります。
加法定理を使用した展開
加法定理を使用して、cos{3(t + π/2)}を展開してみましょう。まず、定理に従って次のように分解できます。
cos{3(t + π/2)} = cos{3t + 3(π/2)} = cos{3t}cos{3(π/2)} – sin{3t}sin{3(π/2)}。
ここで重要なのは、cos{3(π/2)}とsin{3(π/2)}の値です。3(π/2)は270度に相当し、これらの値は以下のように計算されます。
- cos{3(π/2)} = 0
- sin{3(π/2)} = -1
これを代入すると、式は次のようになります。
cos{3(t + π/2)} = cos{3t} * 0 – sin{3t} * (-1) = sin{3t}。
計算順序による違い
質問で触れられているもう一つの点は、計算順序による符号の違いです。もしも、(t + π/2)の部分を先に計算してから3を掛けた場合、誤って-sin{3t}という答えを得てしまうことがあります。
具体的には、(t + π/2)に3を掛ける前に、まずt + π/2を展開した後、これを3倍してしまうと、符号が逆転してしまうことがあります。正しい順序で計算すれば、sin{3t}が得られますが、順序を誤ると結果が異なる符号になるため、注意が必要です。
具体的な計算例
実際に計算の順序を見てみましょう。
まず、(t + π/2)に3を掛けると、3t + 3π/2となります。これを加法定理に従って展開すると、最初に述べたように、cos{3t + 3π/2} = cos{3t} * 0 – sin{3t} * (-1)となり、最終的にsin{3t}となります。
もし先にt + π/2を計算し、そこに3を掛けると、誤って-sin{3t}となってしまいます。このような計算順序の違いによるミスに注意が必要です。
まとめ
cos{3(t + π/2)}の展開において、計算順序によって結果が異なることがあります。正しい計算順序を守ることで、正しくsin{3t}を得ることができます。計算の順序が符号に影響を与えるため、加法定理を適用する際は順序に注意しながら展開を進めることが重要です。
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