x^2−2xで割ると6x−1余り、x^2−1で割ると3x+5余るxの整式の求め方

この問題では、与えられた条件に基づいて、次数が最も低く、最高次の係数が1の整式を求める方法を解説します。具体的には、x^2−2xで割った余りが6x−1で、x^2−1で割った余りが3x+5である整式を求めます。この記事では、手順を追って解法を説明します。

問題の整理と方程式の立式

まず、与えられた条件を整理しましょう。x^2−2xで割った余りが6x−1、x^2−1で割った余りが3x+5であると記述されています。これらの条件に基づき、xの整式を求めるために式を立てます。

一般的に、ある整式P(x)をx^2−2xで割ったときの余りは、形が6x−1となることがわかります。同様に、x^2−1で割ったときの余りは3x+5であることもわかります。この情報をもとに式を立てることが次のステップです。

整式の仮定と余りの形

まず、P(x)がxの2次式であると仮定します。P(x)の形は、P(x) = ax^2 + bx + c となります。この時、x^2−2xで割った余りが6x−1、x^2−1で割った余りが3x+5であるため、P(x)をこれらの割り算に対応させていきます。

具体的には、P(x)をx^2−2xで割った時の余りが6x−1で、x^2−1で割った時の余りが3x+5となる式を立て、その中で係数を比較していきます。これによって、P(x)の具体的な形が見えてきます。

係数の比較と整式の特定

次に、立てた式を使って係数を比較します。この時、x^2−2xやx^2−1で割ったときの余りの形から、P(x)に含まれる係数が求められます。余りの係数がわかれば、P(x)の最高次の係数が1であることも考慮しながら解いていきます。

この手法により、P(x)の係数が次第に絞られていき、最終的にxの最高次の係数が1である整式が導き出されます。

具体的な解法のステップ

まず、P(x) = ax^2 + bx + cとして、与えられた条件に合わせて式を立てます。その後、x^2−2xとx^2−1で割った余りを順番に計算し、得られた式をもとに係数を比較していきます。最後に、最高次の係数が1となるように調整していきます。

ここで重要なのは、式の立て方と余りの形式を正確に把握することです。手順を追って進めることで、解答にたどり着くことができます。

まとめ

この問題では、与えられた余りの情報をもとに、xの整式を求める方法を解説しました。手順としては、まず与えられた余りの形をもとに式を立て、係数を比較していくことがポイントです。最終的に、最高次の係数が1となる整式を求めることができました。このような問題では、式の操作と余りの性質をしっかりと理解することが重要です。