y = |x(x-4)| の極値を求める際の増減表について

関数 y = |x(x – 4)| の極値を求める問題において、増減表を作成する際に x = 0 と x = 4 の点で y’ が書けない理由について解説します。この問題を理解するためには、絶対値関数の微分とその性質について考える必要があります。

関数 y = |x(x – 4)| の特徴

まず、y = |x(x – 4)| は絶対値関数です。この関数は、x(x – 4) の値が正であればそのまま、負であれば符号を反転して絶対値を取る形になります。したがって、x = 0 と x = 4 の点では、関数の形が変わるため、微分を求める際に注意が必要です。

関数 y = |x(x – 4)| のグラフは、x = 0 と x = 4 で折れ線のように変わるため、その点では連続的ではあっても、微分可能性に問題が生じます。

絶対値関数の微分

絶対値関数の微分では、関数の中身がゼロを通過する点で微分が存在しない場合があります。具体的には、関数の中身がゼロを通過する瞬間、その点で急激に傾きが変化するため、微分が定義できないことがあるのです。

y = |x(x – 4)| の場合、x = 0 と x = 4 はそれぞれ絶対値内の式がゼロとなる点です。したがって、この点で微分係数を求めようとすると、左右の微分係数が一致せず、微分可能ではないことがわかります。

なぜ増減表でy’が書けないのか

増減表では、関数の増減を調べるために導関数 y’ が必要です。しかし、x = 0 と x = 4 では、関数の形が急激に変化するため、y’ が定義されない点となります。このため、増減表においてこれらの点では y’ の値を記入することができません。

具体的には、x = 0 では、x(x – 4) が負から正に変わり、x = 4 では正から負に変わります。このため、これらの点では微分が連続していないため、増減表における y’ の値を求めることができないのです。

まとめ

y = |x(x – 4)| のような絶対値関数の場合、x = 0 と x = 4 の点では関数の形が急激に変わるため、その点での微分が定義されません。このため、増減表にはこれらの点での y’ の値を記入することができないのです。増減表を作成する際には、これらの点での微分可能性を考慮し、適切に処理する必要があります。