高校数学の因数分解：4a^2 + 6ab + 9b^2 をどのように因数分解するか

高校数学の因数分解において、式「4a^2 + 6ab + 9b^2」をどのように因数分解するかは多くの生徒がつまずくポイントです。この式は、2項の乗法で表現できる場合があるため、ステップごとに解説していきます。

式の確認と基本的な形

まず、与えられた式「4a^2 + 6ab + 9b^2」を確認しましょう。この式は、3つの項から成り立っています。それぞれ、2つの変数aとbを含む二次式で、特に注目すべきは、aの2乗、ab、bの2乗という構造です。

式は「a^2」と「b^2」の組み合わせで、中心に「ab」があります。ここで、因数分解を考えるためには、まずこの式が二項の積で表せるかどうかを検討します。

次に注目すべきは、式の各項が「平方の形」になっているかどうかです。式「4a^2 + 6ab + 9b^2」を見ると、4a^2は「(2a)^2」、9b^2は「(3b)^2」と表すことができます。

また、真ん中の6abは「2×(2a)×(3b)」の形に分けることができ、これはまさに「(2a + 3b)^2」という完全な平方の形に一致します。このようにして、式を因数分解できるヒントが見えてきます。

これらのステップを踏まえ、実際に因数分解を行います。「4a^2 + 6ab + 9b^2」は、次のように因数分解できます。

(2a + 3b)^2

このように、元の式は「(2a + 3b)」の2乗であることがわかります。したがって、元の式は簡単に因数分解されるのです。

因数分解が正しいかどうかを確認するために、式「(2a + 3b)」を展開してみましょう。展開すると、次のようになります。

(2a + 3b)(2a + 3b) = 4a^2 + 6ab + 9b^2

展開した結果が元の式「4a^2 + 6ab + 9b^2」と一致しているので、因数分解は正しいことが確認できます。

因数分解を行う際のコツとして、まずは式が完全な平方の形をしているかどうかを確認することが重要です。特に、真ん中の項が2つの項の積で表せる場合、平方の形を探すことが成功への鍵となります。

また、因数分解の際に、各項が平方数で表せるかを見極めることも大切です。これができると、因数分解の作業が格段に簡単になります。

「4a^2 + 6ab + 9b^2」の因数分解は、式が完全な平方の形であることを見抜くことが重要です。式は「(2a + 3b)^2」と因数分解でき、これは展開すると元の式と一致することが確認できます。

因数分解のコツは、まず式の構造をよく理解し、平方数や積の形を探すことです。これを繰り返し練習することで、因数分解の力を確実に身につけることができます。