数学でよく登場する問題の一つに、二次方程式の平方完成があります。この方法を使うと、式を簡単に整理でき、グラフの頂点を視覚的に把握することができます。今回は、y = -x² + 2x – 2 の平方完成を行い、頂点の位置を求める方法を解説します。
1. y = -x² + 2x – 2 の平方完成
まず、平方完成を行うためには、二次式を完璧な平方の形に変換する必要があります。y = -x² + 2x – 2 を平方完成する手順を追ってみましょう。
最初に、xの係数を使って、(xの項) を平方の形にします。まず、-1を共通因数として取り出し、式を次のように書き直します。
y = – (x² – 2x) – 2
次に、(x² – 2x) を平方完成します。xの係数は-2なので、その半分の値は-1、そしてその平方は1です。したがって、式に1を加えて引く形に変形します。
y = – (x² – 2x + 1 – 1) – 2
これで、x² – 2x + 1 は完璧な平方になりました。よって、式は次のようになります。
y = – (x – 1)² + 1 – 2
y = – (x – 1)² – 1
これで、y = -x² + 2x – 2 を平方完成の形に変換することができました。
2. 頂点の求め方
平方完成を行った結果、y = – (x – 1)² – 1 という式が得られました。この式を元に、グラフの頂点を求めることができます。
平方完成後の式の形から、頂点の座標は (h, k) という形で表せます。一般的に、y = a(x – h)² + k の形では、頂点は (h, k) にあります。
今回の式では、a = -1, h = 1, k = -1 です。したがって、頂点の座標は (1, -1) となります。
3. グラフの描き方
y = -x² + 2x – 2 のグラフを描く際、頂点が (1, -1) であり、aの値が-1であるため、放物線は下に開いた形になります。これは、xの値が増加または減少するにつれて、yの値が減少することを意味します。
また、対称軸はx = 1であり、この軸を中心に放物線は左右対称になります。この情報を基に、グラフを描くことができます。
4. まとめ
y = -x² + 2x – 2 の平方完成を行うと、y = – (x – 1)² – 1 という形になります。この式から、頂点は (1, -1) であることが分かりました。平方完成は、グラフの頂点を求めるために非常に有効な方法です。
このように平方完成を使うことで、二次関数の性質をより深く理解し、グラフを簡単に描けるようになります。
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