sinA = √2/2がA = 45°またはA = 135°になる理由を理解するための解説

三角関数でよく見かける式、sinA = √2/2。この式がA = 45°またはA = 135°になる理由について、単位円を用いた解法を中心に説明します。これを理解することで、単位円における三角関数の挙動がしっかりと身につくでしょう。

単位円と三角関数の基本

単位円とは、半径が1の円です。この円を用いて、角度Aに対応する点の座標を使って三角関数を求めます。具体的には、角度Aが作る直線が単位円上の点を通るとき、その点のx座標がcosA、y座標がsinAとなります。

例えば、A = 0°では、単位円上の点は(1, 0)となり、この時のsinAは0です。同様に、A = 90°では点は(0, 1)となり、sinAは1になります。このように、単位円上の点を使って三角関数を視覚的に理解できます。

sinA = √2/2という式が示すのは、角度Aに対応するy座標が√2/2の値であるということです。実際、√2/2はおよそ0.7071であり、この値を持つ角度は45°と135°です。

なぜこれらの角度かというと、45°の角度は、直角三角形の各辺が等しいときに現れます。直角三角形の斜辺が√2で、各辺が1であるため、sin45° = 1/√2 = √2/2となります。同様に、135°も単位円上でsinが√2/2になる角度です。

45°の角度におけるsinAが√2/2になる理由は、直角三角形における三辺の比率から来ています。45°では、直角三角形の2辺の長さが等しくなり、sin45° = √2/2となります。

一方、135°は単位円上では2分の1周を超えた場所にあたります。この角度は、45°の位置から半分進んだ位置にあたるため、sin135° = √2/2となります。要するに、45°の角度は第一象限に、135°の角度は第二象限にあり、どちらも同じsin値を持つのです。

単位円における45°および135°の位置を考えてみましょう。45°の時、単位円上の点は、(√2/2, √2/2)という座標を持ちます。これは、直角三角形の各辺が等しく、斜辺が√2であることを示しています。

また、135°では、点は(-√2/2, √2/2)という座標を持ちます。ここでもy座標が√2/2であり、sin135° = √2/2となります。このように、単位円上での角度に応じた座標を理解することで、sinの値をより直感的に捉えることができます。

sinA = √2/2が成り立つ角度は、45°および135°です。この理由は、単位円上でこれらの角度がそれぞれy座標として√2/2を持つためです。45°では、直角三角形の辺の長さから、135°では単位円の特徴に基づいてsinの値が決まります。単位円を使うことで、三角関数の理解がより深まります。