二次関数の頂点を求める方法と式の変形の解説

二次関数のグラフの頂点の座標を求めるためには、式を変形して頂点の位置を明確にする必要があります。今回は、y = 2x² + 4x – 3の式を使って頂点の座標を求める方法を分かりやすく説明します。特に、式を変形する際に出てくる-2の理由についても解説します。

二次関数の頂点を求めるための式の変形

y = 2x² + 4x – 3の式から頂点を求めるためには、平方完成を行います。平方完成とは、二次式をxの二乗の形に変形する方法です。

まず、y = 2x² + 4x – 3の式に注目します。この式では、x²の項の係数が2なので、まずはx²の係数を1にするために式全体を2で割る必要があります。しかし、この場合はx²の前に2があるので、xの部分に調整を加えながら平方完成を行います。

平方完成の手順

1. y = 2(x² + 2x) – 3 とします。ここでx² + 2xを完成させます。

2. (x² + 2x)の部分は、(x + 1)² – 1 と表せます。したがって、式は次のように変形されます。

y = 2((x + 1)² - 1) - 3

3. 次に、この式を整理すると。

y = 2(x + 1)² - 2 - 3

4. 最後に定数項をまとめて、y = 2(x + 1)² – 5となります。

-2が出てくる理由

式の変形過程で出てくる-2は、(x + 1)²に変形する過程で、元の式の(x² + 2x)を完全な平方にするために追加した値です。具体的には、(x + 1)²を展開したときにx² + 2x + 1が得られますが、元の式には+1がなかったため、これを補うために-1を引く必要があります。これを2倍して-2になります。

このようにして、-2が出てくる理由は、平方完成を行うために必要な補正をした結果です。

頂点の座標を求める

平方完成を行った式、y = 2(x + 1)² – 5から、頂点の座標を求めることができます。x + 1 = 0のとき、x = -1です。また、y = -5のとき、頂点のy座標が-5であることがわかります。

したがって、この二次関数のグラフの頂点は、点(-1, -5)となります。

まとめ

y = 2x² + 4x – 3の二次関数の頂点は、平方完成を使って簡単に求めることができます。式を変形して、y = 2(x + 1)² – 5という形にすることで、頂点の座標が-1, -5であることがわかります。平方完成の過程で出てくる-2は、元の式の項を完全な平方にするために必要な補正であることも理解できました。