絶対値不等式は、数学の中でも少し難しく感じることがありますが、基本的な考え方を押さえれば、スムーズに解けるようになります。今回は「|x – 3| ≧ 2」という不等式を、どこからどこまで細かく解いていくかをステップごとに説明します。この解法をマスターすれば、他の絶対値不等式も解けるようになりますよ！
絶対値不等式の基本概念
まず、絶対値とは「数値の大きさ（距離）」を示すものです。たとえば、|x| = 3 と言った場合、xは 3 または -3 であることを意味します。これは、xが0から3の距離だけ離れているということを表しています。
絶対値不等式である |x – 3| ≧ 2 は、「xから3までの距離が2以上である」と解釈できます。この不等式を解くためには、2つのケースを考えます。これが絶対値不等式の解法の基本です。
絶対値不等式の解法ステップ
絶対値不等式 |x – 3| ≧ 2 を解くために、まず絶対値の定義に従って2つのケースに分けます。
ケース1：x – 3 ≧ 2 の場合
まず、絶対値の中身が正の数の場合を考えます。つまり、x – 3が2以上である必要があります。この場合、不等式は次のようになります。
x – 3 ≧ 2
この不等式を解くと、x ≧ 5 になります。この結果、xは5以上の値を取ることがわかります。
ケース2：-(x – 3) ≧ 2 の場合
次に、x – 3が負の数、つまり絶対値を取ったときに符号が反転する場合を考えます。この場合、-（x – 3） ≧ 2 となります。
この不等式を解くと、-x + 3 ≧ 2 となり、-x ≧ -1 となります。両辺にマイナスを掛けると不等式の向きが逆転して、x ≦ 1 になります。
解のまとめ
これらの2つのケースから、xは以下の2つの条件を満たす必要があります。
- x ≧ 5
- x ≦ 1
したがって、解は x ≦ 1 または x ≧ 5 となります。このように、絶対値不等式の解は、2つの範囲に分かれることが多いです。
絶対値不等式のグラフ的理解
絶対値不等式をグラフで視覚化すると、x = 3を中心に、2単位以上離れた点が解として求められることが分かります。具体的には、x = 1またはx = 5を境に、xがそれぞれその値以上または以下である必要があるというわけです。
まとめ：絶対値不等式の解法のポイント
今回の「|x – 3| ≧ 2」の不等式を解くには、まず絶対値の定義に従って2つのケースに分け、それぞれを解くことが重要です。1つ目のケースはxが5以上、2つ目のケースはxが1以下であるという結果を得ました。
このような手順を踏めば、他の絶対値不等式にも応用が効きます。ぜひ、この解法を覚えて、さらに多くの絶対値不等式を解いてみてください！
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