重複を許した5桁の数字の組み合わせの計算方法

この問題では、1, 2, 3という3つの数字から重複を許して5桁の数字を作成し、1, 2, 3のいずれの数字も少なくとも1つ含まれている組み合わせの数を求める問題です。数学的な視点から、どうやってその組み合わせを計算するかについて解説します。

問題の設定：1, 2, 3から5桁の数字を作成

まず、1, 2, 3のいずれかの数字で5桁の数字を作成する場合、各桁に対して3つの選択肢（1, 2, 3）があり、重複を許すので、単純に考えると3の5乗通りの組み合わせが可能です。

したがって、最初に計算すべき総組み合わせ数は以下の通りです。

3^5 = 243通り

次に、「1, 2, 3のいずれの数字も少なくとも1つ含む組み合わせ」の条件を満たすように、先程計算した全組み合わせから「1つの数字が全く含まれない場合」を引く方法で計算します。これは「包含排除原理」という手法を用います。

まず、1, 2, 3のいずれかの数字が1つも含まれない場合を考えると、残り2つの数字だけで5桁の数字を作ります。この場合、各桁に選べる数字は2つに制限され、2の5乗通りの組み合わせが可能です。

したがって、各数字が1つも含まれない場合の組み合わせ数は。

2^5 = 32通り

次に、3つの数字のうち2つを含まない組み合わせを計算します。これを含めることで、少なくとも1つの数字が含まれている組み合わせを求めることができます。

まず、各数字が含まれない場合に関して、数字「1」が全く含まれない場合は2, 3だけを使って5桁の数字を作るため、2の5乗通りです。同様に、数字「2」や「3」が含まれない場合も同じように計算します。重複した計算を避けるため、包含排除原理を使い、1つの数字が含まれない場合を引いていきます。

最終的に、全組み合わせから少なくとも1つの数字が含まれない場合を除いた結果が求めるべき組み合わせ数です。この方法で計算すると、少なくとも1つの数字が含まれる組み合わせの数は。

243 – (3 × 32) = 147通り

この問題では、1, 2, 3のいずれの数字も少なくとも1つ含まれる5桁の数字を作るための組み合わせ数は、147通りであることがわかりました。重複を許す場合の計算では、包含排除原理を活用することで、必要な条件を満たす組み合わせ数を求めることができます。

このような問題は、組み合わせ数学の基本的な考え方を理解するのに役立ちます。実際の計算では、条件に合わせて適切な計算方法を選ぶことが大切です。