高校数学でよく出題される三角比の問題について、今回はsinA = 2/5のときにcosAとtanAを求める方法を解説します。三角関数の基本的な理解を深めるために、三角形の関係を使って解く方法を紹介します。
三角比の基本
三角比は、直角三角形の角度と辺の比率を表すものです。特にsin、cos、tanは以下のように定義されます。
- sinA = 対辺 / 斜辺
- cosA = 隣辺 / 斜辺
- tanA = 対辺 / 隣辺
ここで、sinAが与えられている場合、他の三角比を求めるには、直角三角形の辺の長さの関係を利用することができます。
与えられた条件をもとに三角形を描く
問題では、sinA = 2/5と与えられています。これを直角三角形の比率に当てはめると、次のように考えます。
- sinA = 対辺 / 斜辺 = 2/5
- この場合、対辺が2、斜辺が5であることがわかります。
ここで、隣辺の長さを求めるためにピタゴラスの定理を使います。ピタゴラスの定理は、直角三角形の辺の長さがa^2 + b^2 = c^2という関係を満たすことを示します。
ピタゴラスの定理を使って隣辺を求める
ピタゴラスの定理を使うと、次のように計算できます。
- 対辺が2、斜辺が5なので、隣辺の長さをxとすると、
- 2^2 + x^2 = 5^2
- 4 + x^2 = 25
- x^2 = 21
- x = √21 ≈ 4.58
したがって、隣辺の長さは約4.58となります。
cosAとtanAの計算
次に、cosAとtanAを求めます。
- cosA = 隣辺 / 斜辺 = 4.58 / 5 ≈ 0.916
- tanA = 対辺 / 隣辺 = 2 / 4.58 ≈ 0.436
したがって、cosA ≈ 0.916、tanA ≈ 0.436となります。
まとめ
今回の問題では、sinA = 2/5が与えられている状態から、cosAとtanAを求める方法を学びました。まず、三角形の関係を基にして対辺と斜辺をもとに隣辺を求め、そこからcosAとtanAを計算することができました。ピタゴラスの定理を使うことで、隣辺を簡単に計算することができます。
三角比の基本的な理解を深め、さまざまな問題に応用できるようにしていきましょう。
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