f(x) = 4x^3 - 2axの解を求める条件

この問題では、f(x) = 4x^3 – 2axという関数とその積分条件をもとに、0 < x < 1の範囲における解の個数がちょうど2個であるための条件を求めます。まずは、問題の式をしっかりと理解し、解を求めるための手順を詳しく解説します。

1. 問題の整理

関数f(x)は、f(x) = 4x^3 – 2axという形です。そして、問題における条件として、f(x) = ∫(0→1) f(t) dtが0 < x < 1の範囲においてちょうど2個の解を持つことが求められています。この条件を踏まえて、解くための式を立てていきます。

まず、定積分 ∫(0→1) f(t) dt を計算します。f(t)の関数を使って、次のように積分を求めます。

∫(0→1) f(t) dt = ∫(0→1) (4t^3 – 2at) dt

この積分を計算すると、次のように求められます。

∫(0→1) (4t^3 – 2at) dt = 4 * [t^4/4] (0→1) – 2a * [t^2/2] (0→1)

これを計算すると。

∫(0→1) f(t) dt = 1 – a

次に、この積分結果を使ってf(x) = ∫(0→1) f(t) dt という方程式を立てます。つまり、f(x) = 1 – a となります。f(x)を式に代入すると。

4x^3 – 2ax = 1 – a

この方程式を解くことによって、aに対する解を求めます。

0 < x < 1の範囲でちょうど2つの解を持つためには、xの2つの解が存在する必要があります。したがって、この方程式の解の個数がちょうど2つとなるようなaの条件を求めます。

この条件を満たすaの値を求めるために、f'(x)（導関数）の符号を調べて解を確認します。

この問題では、積分を使って解を求める方法を理解し、最終的にaの値を求めて、0 < x < 1の範囲で解の個数がちょうど2つであるための条件を明確にすることができます。実際に計算を進めることで、問題を解決するための手法が分かるようになります。