x-p(x-5) <= 0 の式における不等式の理解

数学の不等式である「(x – p)(x – 5) <= 0」を解く際、条件により不等式の表現が変わるのは少し混乱することがあります。特に、pが5より小さい場合と大きい場合の区別については疑問が生じることが多いです。この記事では、その理由と数学的背景について詳しく解説します。

不等式の基本的な解法

まず、不等式「(x – p)(x – 5) <= 0」を解くために、この式を因数分解すると「(x - p)」と「(x - 5)」の積となり、これが0以下である必要があります。この時、各因数がどうなるかを分析して範囲を求めます。

pが5より小さい場合の解法

p < 5 の場合、式「(x - p)(x - 5) <= 0」の解は、p <= x <= 5 という範囲になります。なぜなら、xがp以上、5以下であるとき、この式の値は0以下となるからです。

pが5より大きい場合の解法

一方で、p >= 5 の場合、式「(x – p)(x – 5) <= 0」の解は、5 <= x <= p となります。この場合、xが5以上、p以下であるとき、この式の値は0以下になります。つまり、pが5以上の場合、xの範囲が反転して、「<=」が必要になるのです。

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ここで、なぜpが5より小さい時は「<」を使い、pが5より大きい時は「<=」を使うのかを考えると、pが5の場合、xはちょうどpでなくても条件を満たすため、「<=」が使われます。pが5より小さい場合、xが5に近づくにつれて条件を満たさなくなるため、「<」が使われるのです。

まとめ

「(x – p)(x – 5) <= 0」の解を求める際に、pの値によって不等式の範囲が変わる理由は、pが5より小さいか大きいかで式の値が変化するからです。pが5以上のとき、「<=」を使って表現することで、xがpと5の間の範囲を包括的に示すことができます。数学的な不等式の表現方法は、条件に合わせて柔軟に変わります。