初項から第n項までの和の一般項を求める方法

数学の問題で、初項から第n項までの和が与えられている場合、その和を基に一般項を求める方法について解説します。この問題では、Sn＝n^2 + 2nという和が与えられており、anの一般項を求めることが求められています。ここでは、公式an＝Sn – Sn-1を使って解く方法を詳しく説明します。

1. Snとanの関係

まず、Snは初項から第n項までの和を意味します。一方、anは第n項の値です。問題文で与えられている通り、Sn＝n^2 + 2nとなっています。anを求めるためには、SnとSn-1の差を取ることが基本的な方法です。つまり、an = Sn – Sn-1という公式を使います。

SnとSn-1の違いを求めるには、nを1つずらすだけです。例えば、Sn＝n^2 + 2nのとき、Sn-1を求めるにはnをn-1に置き換えた式を使います。すなわち、Sn-1 = (n-1)^2 + 2(n-1)です。

それでは、具体的に計算してみましょう。Sn = n^2 + 2n、そしてSn-1 = (n-1)^2 + 2(n-1)です。

まず、Sn-1を展開します。

Sn-1 = (n-1)^2 + 2(n-1) = n^2 – 2n + 1 + 2n – 2 = n^2 – 1

次に、an = Sn – Sn-1に代入します。

an = (n^2 + 2n) – (n^2 – 1) = n^2 + 2n – n^2 + 1 = 2n + 1

したがって、an = 2n + 1がこの問題の一般項となります。この式を使うことで、任意のnに対してanを計算することができます。

例えば、n=1のとき、an = 2(1) + 1 = 3です。n=2のとき、an = 2(2) + 1 = 5となります。

今回の問題では、初項から第n項までの和を与えられ、公式an = Sn – Sn-1を使って一般項anを求めました。最終的に、an = 2n + 1という結果が得られました。この方法を理解することで、他の類似の問題にも応用できるようになります。