大学一年次の解析学では、極限を求める問題がよく出題されます。特に、計算の過程をどれだけ正確に表現できるかが重要です。今回は、極限の問題に対する解答の正確さと部分点の可能性について解説します。
1. 問題1の極限：lim x→y (x^n – y^n) / (x – y)
最初の問題は、lim x→y (x^n - y^n) / (x - y)の極限を求める問題です。この問題の解法には、数式の因数分解を使ったアプローチが一般的ですが、提案された解法には少し誤りがあります。
解法において、y = cxと置いて解く方法は一つのアプローチですが、この場合、実際には(x^n - y^n) / (x - y)を素直に解くべきです。確かに、(x^n - y^n) / (x - y)は、n * y^{n-1}という結果を出すので、答えとしてはn * y^{n-1}が正解となります。この解法で部分点がもらえる可能性はありますが、理由をしっかりと示すことが求められます。
2. 問題2の極限：lim x→0 (e^4x + e^2x – 2) / x
次の問題では、lim x→0 (e^4x + e^2x - 2) / xを求める問題です。この問題の解法は微分を使って解く方法です。問題の解法では、f(x) = e^4x + e^2x - 2と定義し、x = 0での微分係数を求めています。
微分を使った解法は完全に正解です。微分を使うことで、直接的にlim x→0 f(x) / xを求めることができます。この場合、f'(0) = 4e^0 + 2e^0 = 6となり、最終的な答えは6になります。この解法は適切で、正解として評価されるでしょう。
3. 解答の正確さと評価
最初の問題に関して、部分点がもらえるかどうかは、解法の途中で何を使っているか、そして最終的な答えに至る過程が正確であるかどうかに依存します。提案された解法は一部不正確ですが、論理的に進めているため部分点が与えられる可能性があります。
二つ目の問題については、微分を使ったアプローチが完全に正解です。このような解法は、適切に計算されていれば正解として評価されます。
4. まとめ
大学の解析学における極限問題では、計算過程が重要です。特に、適切な方法を選び、途中の計算を誤らないことが評価されます。最初の問題では部分点をもらえる可能性があり、二つ目の問題は正解として評価されるでしょう。問題ごとに適切な解法を理解し、細かい点に注意を払いながら解答することが大切です。
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