この問題では、y=sinxの点(α、sinα)上の法線の法線ベクトルについて考えます。質問者は法線ベクトルが(1、-cosα)であるべきだと感じている一方で、解説には(1、cosα)と書かれているとのことです。どのようにして法線ベクトルを計算するのか、詳しく解説します。
1. 法線ベクトルとは
まず、法線ベクトルについて確認しておきましょう。法線ベクトルとは、ある曲線上の点におけるその曲線の接線に垂直なベクトルです。これを求めるためには、接線の傾きを計算し、その逆方向を向いたベクトルを求めます。
ここで扱っている関数y = sinxの場合、接線の傾きはその関数の導関数を用いて求めます。
2. y=sinxの導関数と接線の傾き
y = sinxの導関数を求めると、y’ = cosxとなります。したがって、点(α, sinα)における接線の傾きはcosαです。この接線の傾きがわかれば、次はその法線ベクトルを求めます。
3. 法線ベクトルの求め方
接線の傾きがcosαであるならば、法線ベクトルの傾きはその逆方向になります。すなわち、法線ベクトルの傾きは-1/cosαです。法線ベクトルを求める際には、傾きだけでなく、具体的な方向を考慮する必要があります。
したがって、法線ベクトルは(x, -cosα)という形になります。これをさらにベクトルの成分に直すことで、最終的な法線ベクトルが(1, cosα)になることがわかります。
4. 結論
質問者が示した(1、-cosα)は誤りであり、正しい法線ベクトルは(1、cosα)です。これは、接線の傾きがcosαであるため、法線ベクトルがその逆方向を向いているためです。
5. まとめ
法線ベクトルを求めるためには、まず接線の傾きを導関数で求め、その逆方向に向いたベクトルを計算します。今回の問題では、y=sinxの点(α、sinα)における法線ベクトルが(1、cosα)であることがわかりました。このような計算方法を理解することで、法線ベクトルの問題を効率的に解くことができます。
コメント