この問題では、2次関数 y = 2x^2 – 12x + 15 の定義域が 0 <= x <= 5 のとき、y のとりうる値の範囲を求める方法を解説します。2次関数のグラフの形や、与えられた定義域内でのyの変化を理解することがカギとなります。
2次関数の特徴を確認
まず、与えられた関数 y = 2x^2 – 12x + 15 は、2次関数です。2次関数のグラフは放物線で、一般的に次のような形をしています。
y = ax^2 + bx + c の場合、aの符号が正であれば放物線は上に開き、負であれば下に開きます。ここでは、a = 2 なので、放物線は上に開いています。
yの範囲を求めるための手順
次に、定義域 0 <= x <= 5 の範囲内で、y の最小値と最大値を求めます。最小値と最大値を求めるためには、まず頂点の位置を求めることが大切です。
2次関数の頂点のx座標は、x = -b / (2a) という公式で求められます。この公式を使って、関数の頂点の位置を求めましょう。
ここでは、b = -12、a = 2 なので、頂点のx座標は次のように計算できます。
x = -(-12) / (2 × 2) = 12 / 4 = 3
したがって、頂点のx座標は3です。これにより、x = 3が関数の最小値を取る位置であることがわかります。
yの最小値と最大値を求める
次に、x = 3でのyの値を求めます。これを元の式 y = 2x^2 – 12x + 15 に代入して計算します。
y(3) = 2(3)^2 – 12(3) + 15 = 2(9) – 36 + 15 = 18 – 36 + 15 = -3
したがって、x = 3 のとき、y の最小値は -3 です。
次に、定義域 0 <= x <= 5 の範囲内で、x = 0 および x = 5 のときのyの値を求めます。
y(0) = 2(0)^2 – 12(0) + 15 = 15
y(5) = 2(5)^2 – 12(5) + 15 = 2(25) – 60 + 15 = 50 – 60 + 15 = 5
したがって、x = 0 のとき y = 15、x = 5 のとき y = 5 となります。
yのとりうる範囲
以上の計算から、定義域 0 <= x <= 5 におけるyの最小値は -3、最大値は 15 であることがわかりました。
したがって、yのとりうる範囲は -3 <= y <= 15 です。
まとめ
この問題では、2次関数の定義域が与えられた場合に、yの範囲を求める方法を解説しました。頂点の位置を求め、その後に与えられた範囲内でのyの値を計算することで、最小値と最大値を特定し、yの範囲を求めることができます。この方法を覚えておけば、他の2次関数の問題にも応用できるようになります。
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