確率の問題でよく出てくるのが、袋から玉を取り出すようなシチュエーションです。今回は、赤玉6個と白玉3個の合計9個の玉が入った袋から玉を1個取り出す問題について解説します。この問題では、4回の試行の中で赤玉をちょうど3回取り出す確率を求めることが目的です。
確率の問題の基本的な考え方
まずは、確率の基本的な概念を復習しましょう。確率とは、ある事象が起こる「可能性」のことです。この場合、赤玉を取り出す確率、白玉を取り出す確率をそれぞれ求めることから始めます。
袋の中には9個の玉があります。そのうち赤玉は6個、白玉は3個です。したがって、赤玉を取り出す確率は、次のように求められます。
赤玉を取り出す確率 = 赤玉の数 / 全体の玉の数 = 6 / 9 = 2 / 3
赤玉をちょうど3回取り出す確率を求める方法
問題では、4回の試行の中で赤玉をちょうど3回取り出す確率を求める必要があります。この場合、2つのポイントを考慮する必要があります。
- 赤玉を3回取り出す場合、その3回の赤玉を取り出す順番
- 残り1回は白玉を取り出す
このような問題を解くためには、二項分布を使います。二項分布は、試行が独立して行われ、各試行における成功の確率が一定であるときに適用できます。この場合、赤玉を取り出すことが成功、白玉を取り出すことが失敗と考えます。
二項分布を使った計算
二項分布の公式は以下のようになります。
P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 – p)^(n – k)
ここで、
C(n, k)は「n回の試行からk回成功する場合の組み合わせの数」、
pは成功する確率、
nは試行回数、
kは成功回数、
(1 – p)は失敗する確率を表します。
この問題の場合、
n = 4（試行回数）、
k = 3（赤玉を取り出す回数）、
p = 2 / 3（赤玉を取り出す確率）です。これを公式に当てはめると、次のように計算できます。
P(X = 3) = C(4, 3) × (2 / 3)^3 × (1 / 3)^1
まず、組み合わせC(4, 3)を計算します。
C(4, 3) = 4! / (3! × 1!) = 4
次に、確率を計算します。
(2 / 3)^3 = 8 / 27 と (1 / 3)^1 = 1 / 3 です。
したがって、最終的な確率は。
P(X = 3) = 4 × (8 / 27) × (1 / 3) = 32 / 81
まとめと結果
この計算によって、赤玉をちょうど3回取り出す確率は32 / 81となります。
確率の問題は少し計算が複雑に感じるかもしれませんが、基本的な手順を踏むことで解くことができます。このような問題を解く際には、まず確率の公式や二項分布をしっかり理解し、次に実際の問題にどのように適用するかを考えることが重要です。
コメント