3点を通る二次関数の求め方を徹底解説

「グラフが3点(3.0)(-1.0)(2.6)を通る二次関数を求めなさい」という問題を解く方法について、詳しく解説します。二次関数の求め方は、3点を通る直線の求め方とは異なり、係数を求めるための連立方程式を使います。

二次関数の一般形とは？

二次関数の一般的な形は、次のようになります。
y = ax² + bx + c
ここで、a、b、cは定数です。この式を使って、与えられた3点を通る二次関数を求めます。

3点から連立方程式を作る

与えられた3点(3.0), (-1.0), (2.6)を通る二次関数を求めるためには、まずこれらの点を二次関数の一般形に代入します。

まず、点(3.0)を代入してみましょう。x = 3, y = 0なので、次のような式になります。
0 = a(3)² + b(3) + c → 9a + 3b + c = 0

次に、点(-1.0)を代入してみます。x = -1, y = 0なので、次のような式になります。
0 = a(-1)² + b(-1) + c → a – b + c = 0

最後に、点(2.6)を代入してみます。x = 2, y = 6なので、次のような式になります。
6 = a(2)² + b(2) + c → 4a + 2b + c = 6

連立方程式を解く

ここで、次の連立方程式が得られました。

これを解くために、まず第一式と第二式を引いてみます。
(9a + 3b + c) – (a – b + c) = 0 → 8a + 4b = 0 → 2a + b = 0 → b = -2a

次に、第二式と第三式を引いてみます。
(4a + 2b + c) – (a – b + c) = 6 → 3a + 3b = 6 → a + b = 2

これで、b = -2aを代入すると、a – 2a = 2 → -a = 2 → a = -2です。

a = -2が求まりましたので、次にbを求めます。b = -2a → b = 4です。

最後に、aとbの値を第一式に代入して、cを求めます。9a + 3b + c = 0 → 9(-2) + 3(4) + c = 0 → -18 + 12 + c = 0 → c = 6

求めた二次関数

これで、a = -2, b = 4, c = 6が求まりました。したがって、求める二次関数は、次のように表されます。

y = -2x² + 4x + 6

まとめ

この問題を解くためには、与えられた3点を使って連立方程式を作成し、それを解くことで二次関数を求めることができました。一般的に、3点を通る二次関数は、こうした手順で求めることができます。ポイントは、二次関数の一般形に代入して連立方程式を作成し、それを解くという方法です。