積分を解く際には、特定のテクニックや公式を駆使することが非常に重要です。この記事では、2つの積分の例を通じて、三角関数の積分と置換積分を解説します。
1. cos関数の積分
最初に取り上げるのは、以下の積分です。
∫cos(5x-2)dxこのような形の積分を解くためには、変数のスケーリングを考慮する必要があります。まず、積分の中身にある「5x-2」の部分に注目します。
ここで重要なのは、積分の中の関数がxの線形式であるため、その微分も簡単に計算できることです。この場合、積分の結果を得るために、変数の変換を行います。
積分の手順
積分 ∫cos(5x – 2) dx を解くために、まず以下のように置き換えます。
u = 5x - 2ここで、du/dx = 5 となるので、dx = du / 5 です。これを使って積分を次のように変形します。
∫cos(u) * (1/5) duこれにより、積分は簡単になります。最終的に積分の結果は次のようになります。
(1/5) * sin(u) + Cuを元のxの式に戻すと、最終的な答えは。
(1/5) * sin(5x - 2) + Cこれが最初の積分の解です。
2. 置換積分の例： (4x – 5)^6 の積分
次に、以下の積分を解きます。
∫(4x - 5)^6 dxこの積分には「置換積分」を使用します。置換積分では、複雑な式を簡単な形に変換してから積分を行います。
置換法による積分の解法
まず、t = 4x – 5 とおくことで、式を簡単にします。すると、dt/dx = 4 となるので、dx = dt / 4 となります。この置換を使うことで、積分式は次のように変わります。
∫t^6 * (1/4) dtこの積分を解くと、簡単に次のような結果が得られます。
(1/4) * (t^7 / 7) + C最後に、t を元の式である 4x – 5 に戻して、最終的な答えは。
(1/28) * (4x - 5)^7 + Cこれが置換積分の結果です。
まとめ
この記事では、2つの異なる積分のテクニックを解説しました。最初の積分では三角関数の積分を、2つ目では置換積分を用いました。これらの方法は、積分を解く際に非常に有用であり、さまざまな問題に応用できます。
積分の計算を効率的に行うためには、積分の中身を適切に分析し、最も簡単に解ける方法を選ぶことが大切です。これらの基本的な積分テクニックを身につけることで、数学の理解が深まるとともに、さまざまな応用にも対応できるようになります。
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