三角関数における軌跡問題は、よく出題される内容ですが、解き方が複数あるため、時には混乱してしまうことがあります。特に、問題における代入式や方程式変形の方法について、理解が深まらないとモヤモヤした気持ちが残ることもあります。この記事では、P(cos(t)+sin(t), cos(t)sin(t))の軌跡問題について、異なる解法アプローチを比較し、なぜ答えが一致するのかを解説します。
問題の式と解法のアプローチ
問題で与えられた式は、P(cos(t)+sin(t), cos(t)sin(t))です。まず、この式に関連する重要な情報として、以下の式を考えます。
(sin(t)+cos(t))^2 – 2sin(t)cos(t) = 1
ここで、x = cos(t) + sin(t) と y = cos(t)sin(t) と代入することで、式が次のようになります。
x^2 – 2y = 1 という式が得られます。これが、問題における基本となる方程式です。
代入式の解釈と軌跡の求め方
まず、x = cos(t) + sin(t) の変形を行います。ここで、x を sin(t) + cos(t) と書き換えることで、特にx の範囲に関する情報を求めるためのヒントを得ることができます。具体的には、次のように解きます。
問題の式から、x = √2sin(t + π/4) という形が得られます。この形により、x の範囲が決定されます。xの範囲は -√2 ≦ x ≦ √2 となり、これが求める軌跡の範囲になります。
代数的アプローチと解法の流れ
代数的なアプローチを取ると、次のような二次方程式が得られます。
u^2 – xu + y = 0
ここで、u に関する解が実数解であるための条件を求めます。つまり、この二次方程式の判別式が 0 以上であることが必要です。この条件を満たす x と y の範囲が、最終的な解に影響を与えるのです。
解法における重要なステップは、x と y の範囲がどのように制約されるかを理解することです。x の範囲が -√2 ≦ x ≦ √2 ということを確認することで、問題の答えを得ることができます。
解法の違いとその理解
質問者が疑問に思っている「モヤモヤ」部分は、解法が異なるアプローチを取っていることによるものです。代数的なアプローチと、x = √2sin(t + π/4) という変形アプローチは、本質的には同じ結果を導きますが、手順が異なるため混乱を招くことがあります。
重要なのは、どの方法を選択しても最終的に得られる範囲が一致するということです。この理解が深まることで、他の類似した問題にも自信を持って取り組むことができるようになります。
まとめ
この問題において、P(cos(t)+sin(t), cos(t)sin(t))の軌跡を求めるための解法にはいくつかのアプローチがあります。代数的な方法や三角関数を利用した変形によって、最終的に求める範囲は一致します。疑問を解消するためには、異なる解法の背後にある基本的な数学的な原則を理解することが重要です。
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