この問題は、落花生の加工方法がネズミのたんぱく質摂取量にどのような影響を与えるかを検討する統計的な検定の問題です。生の落花生と炒った落花生を与えた10匹ずつのネズミの摂取量の平均値と不偏分散が与えられているため、これらを元に「たんぱく質の摂取量に差があるか？」という仮説検定を行います。
問題の設定
与えられた情報は以下の通りです。
- 生の落花生を与えたネズミ10匹の平均たんぱく質摂取量：57.9
- 炒った落花生を与えたネズミ10匹の平均たんぱく質摂取量：55.8
- 生の落花生の不偏分散：31.21
- 炒った落花生の不偏分散：21.07
これらを元に、炒った落花生がたんぱく質摂取量に影響を与えるかどうかを検定します。優位水準は5%です。
帰無仮説と対立仮説の設定
まず、検定における仮説を設定します。ここで求めるのは、たんぱく質の摂取量に差があるかどうかです。
- 帰無仮説 (H₀): 生の落花生と炒った落花生でたんぱく質の摂取量に差はない。
- 対立仮説 (H₁): 生の落花生と炒った落花生でたんぱく質の摂取量に差がある。
検定統計量の計算
次に、検定統計量を計算します。2群の平均値の差を比較するため、2標本t検定を使用します。
t検定の式は次のように定義されます。
t = (X₁̄ – X₂̄) / √((S₁² / n₁) + (S₂² / n₂))
ここで、
- X₁̄: 生の落花生の平均摂取量
- X₂̄: 炒った落花生の平均摂取量
- S₁²: 生の落花生の不偏分散
- S₂²: 炒った落花生の不偏分散
- n₁: 生の落花生を与えたネズミの数
- n₂: 炒った落花生を与えたネズミの数
具体的に数値を代入すると。
t = (57.9 – 55.8) / √((31.21 / 10) + (21.07 / 10))
これを計算すると、
t ≈ 0.74 / √(3.121 + 2.107) ≈ 0.74 / √5.228 ≈ 0.74 / 2.284 ≈ 0.324
自由度と臨界値の計算
次に、自由度を計算します。自由度は次の式で求めます。
df = ( (S₁² / n₁) + (S₂² / n₂) )² / (( (S₁² / n₁)² / (n₁ – 1) ) + ( (S₂² / n₂)² / (n₂ – 1) ))
これを代入して計算すると、
df ≈ 17.43
次に、t分布表を使って、自由度17.43で5%の有意水準に対応する臨界値を確認します。t分布表から、臨界値は約2.11です。
検定結果と結論
得られたt値（0.324）を臨界値（2.11）と比較すると、t値は臨界値より小さいため、帰無仮説を棄却することができません。
したがって、「生の落花生と炒った落花生でたんぱく質の摂取量に差はない」と結論できます。つまり、落花生を炒ったことがネズミのたんぱく質摂取量に与える影響は統計的に有意ではないという結果になります。
まとめ
今回の統計的検定の結果、落花生の炒り方がネズミのたんぱく質摂取量に与える影響は統計的に有意ではないことが分かりました。これにより、たとえ落花生を炒ったとしても、たんぱく質の摂取量には差がないという結論になります。
このような検定を行うことで、仮説が正しいかどうかを判断し、実験の結果を適切に解釈することができます。
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